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作者：Kevin Hartnett 2021-9-9 译者：zzllrr小乐 2021-9-19
最重要的数学知识之一濒临消失，也许永远消失。现在，一本新书希望能拯救它。
圆盘嵌入定理（The Disc Embedding Theorem）是迈克尔·弗里德曼 (Michael Freedman) 于 1981 年完成改写的证明——关于无限的圆盘网络——经过了多年在加利福尼亚海岸的孤独辛劳。弗里德曼的证明回答了一个问题，这个问题在当时是数学中最重要的未解决问题之一，也是弗里德曼的领域拓扑学中的定义问题。 弗里德曼的证明令人感觉很神奇。当时没有人相信它可能奏效——直到弗里德曼亲自说服了该领域一些最受尊敬的人。但是，尽管他赢得了同时代人的青睐，但书面证明充满了漏洞和遗漏，以至于除非你有弗里德曼或从他那里学到证明的人站在你的肩膀上指导你，否则无法紧跟其逻辑。 “我可能没有按照我应该的那样仔细对待书面材料的阐述，”弗里德曼说，他今天领导着加州大学圣巴巴拉分校的微软研究小组，专注于构建量子计算机。 因此，弗里德曼证明的奇迹已经消失在神话中。 今天，很少有数学家了解他的所作所为，而那些了解他的人正在逐渐退出该领域。结果是涉及他的证明的研究枯萎了。几乎没有人得到主要结果，一些数学家甚至质疑它是否完全正确。 在 2012 年 MathOverflow 上的一篇帖子中，一位评论者称该证明是“一篇论文的怪物”，并表示他“从未见过一位数学家能让我相信ta理解弗里德曼的证明。” 新书是解决这种情况的最大努力。这是五位年轻研究人员的合作成果，他们被 Freedman 证明的美丽所吸引，并希望赋予它新的生命。它超过近 500 页，使用清晰、一致的术语完整详细地阐述了弗里德曼论证的步骤。目标是将这门重要但难以理解的数学变成一个有动力的本科生可以在一个学期内学习的东西。 “没有什么留给想象了，”波恩马克斯普朗克数学研究所的 Arunima Ray 说，他与比勒费尔德大学的 Stefan Behrens、布达佩斯经济技术大学的 Boldizsár Kalmár、韩国全南国立大学的 Hoon Kim 和英国杜伦大学的 Mark Powell 共同编辑了这本书。“一切都已经确定了。”
排序球体 1974 年，迈克尔·弗里德曼 (Michael Freedman) 23 岁，他着眼于拓扑学中最大的问题之一。拓扑学是研究空间或流形的基本特征的数学领域，正如数学家所称。 它被称为庞加莱猜想，以法国数学家亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) 的名字命名，他于 1904 年提出该猜想。庞加莱预测，具有某些通用特征的任何形状或流形都必须与球体等价或同胚。（两个流形是同胚的，当你可以将一个流形上的所有点映射到另一个上的点，同时保持点之间的相对距离，以便在第一个流形上靠得很近的点在第二个流形上仍然靠得很近。） 庞加莱专门考虑了三维流形，但数学家继续考虑所有维度的流形。他们还想知道该猜想是否适用于两种流形。第一种称为“光滑”流形，没有尖角等任何特征，可让你在每个点进行微积分。第二种，被称为“拓扑”流形，可以有不能进行微积分的角落。
当弗里德曼开始研究这个问题时，数学家们已经在这个猜想上取得了很大进展，包括解决了它在 5 维及更高维度上的拓扑版本。 弗里德曼专注于四维拓扑猜想。它指出，任何拓扑流形是四维“同伦”球体，它与四维球体松散等效，实际上与四维球体同胚（强等效）。 “我们要问的问题是，[对于四球体]，这两种等效概念之间是否存在差异？”雷说。 四维版本可以说是庞加莱问题的最难版本。这部分是因为数学家用来解决更高维度猜想的工具在四维的更受约束的设置中不起作用。（该问题最难版本的另一个竞争者是三维庞加莱猜想，该猜想直到 2002 年才由 Grigori Perelman 解决。） 在弗里德曼开始工作的时候，没有人对如何解决这个问题有任何成熟的想法——这意味着如果他要成功，他将不得不发明全新的数学。 重要的曲线 在深入探讨他如何证明庞加莱猜想之前，值得深入研究一下问题的真正含义。 一个四维同伦球体可以通过它内部绘制的曲线相互作用的方式来表征：相互作用告诉你关于它们相互作用的更大空间的一些基本信息。 在四维情况下，这些曲线将是二维平面（通常，这些曲线最多是它们在内部绘制的较大空间维度的一半）。要理解基本设置，可以考虑一个更简单的示例，该示例涉及在二维空间内相交的一维曲线，如下所示：
这些曲线有一个叫做代数相交数的东西。要计算这个数字，从左到右计算，并为它们相交的每个弧线上升的地方分配一个 -1，并为它们相交的每个弧线下降的地方分配一个 +1。在这个例子中，最左边的交点得到 -1，最右边的交点得到 +1。将它们加在一起，你将得到这两条曲线的代数交点数：0。 同伦球的特点是，在其内部绘制的任何一对一半维度曲线的代数交点数为 0。 对于常规球体也是如此。但是常规球体也有一个与相交相关的稍微不同的属性：你总是可以绘制两条曲线，这样它们就不会彼此相交。因此，同伦球体具有一对曲线的代数交点数始终为 0 的特性，而正则球体具有这样的特性：任意一对曲线都可以彼此分离，因此它们的几何交点数为 0。也就是说，它们实际上根本不相交。 弗里德曼为了证明四维庞加莱猜想，他需要证明总是可以取代数交点为 0 的特定曲线对并将它们“推开”彼此，使它们的几何交点数仍然为 0。如果你有代数交点为 0 的曲线对，并且你证明你总是可以将它们分开，你证明它们嵌入的空间必须是规则球体。 “这就像这些半维子流形的社交距离，”雷说。 之前对该问题更高维版本的工作已经建立了一种方法来做到这一点。它涉及寻找称为惠特尼圆盘（Whitney discs）的对象，它们是由你想要分离的曲线包围的平面二维空间。 这些圆盘成为一种称为同位素的数学过程的指南，在该过程中，你可以将两条曲线相互远离。这些平坦的惠特尼圆盘的存在确保可以逐渐将弧形曲线向下移动。当你这样做时，圆盘开始消失，就像夕阳一样。最终，圆盘完全消失，曲线已分离。 “惠特尼圆盘为你提供了合痕（isotopy）的路径。你不断移动一条曲线，直到两条曲线分开。圆盘就像是这个过程的路线图，”雷说。
当弗里德曼面对四维庞加莱猜想时，他的主要任务是证明当你有一对代数交点为 0 的相交曲线时，这些平坦的惠特尼圆盘就存在。确定它是真实的将弗里德曼带到了难以想象的数学新高度. 解开圆盘 在弗里德曼的工作中，他遇到了一个在四个维度上出现的特殊绊脚石。他需要证明总是可以分离相交的二维曲线——将它们相互推开——为此他必须建立惠特尼圆盘的存在，以确保分离是可能的。 问题在于，在四个维度中，二维惠特尼圆盘可以相互交叉，而不是平放。圆盘与自身相交的位置会阻碍一条曲线从另一条曲线滑下的过程。你可以将自相交视为一个障碍，当你试图将其从另一条曲线拉开时，它会抓住你的一条曲线。 “圆盘本应帮助我，但事实证明圆盘也与自身相交，”雷说。 因此，弗里德曼需要证明，始终可以取消惠特尼圆盘相交的位置，将它们放平，然后继续分离。对他来说幸运的是，他不会从头开始。1970 年代，一位名叫 Andrew Casson 的数学家提出了一种消除圆盘自交的策略。 圆盘的重点是确定可以将曲线分开以使它们不相交。如果一个圆盘本身包含一个交叉点，缓解它的方法是相同的：寻找以第一个圆盘的交叉部分为界的第二个圆盘。如果你找到第二个圆盘，你就知道可以消除第一个圆盘中的交叉点。
好的，但是如果第二个圆盘（帮助第一个圆盘）也与自己相交怎么办？然后你寻找包含在第二张圆盘中的第三张圆盘。然而，那个圆盘也可能与自己相交，所以你寻找第四个圆盘，这个过程一直持续下去，在圆盘内产生无限叠的圆盘——所有的圆盘都竖立起来，希望能一直确定原始圆盘在底部，可以使其不相交。 Casson 确定这些“Casson 手柄”大致相当于实际的惠特尼圆盘——更准确地说是同伦等价——他用这种等价性研究了四维拓扑中的许多重要问题。但他无法证明卡森手柄在更强的意义上等同于圆盘——它们同胚于圆盘。这种更强的等价性正是数学家需要的，以便使用手柄来证明最大的悬而未决的问题。 雷说：“如果我们证明这些是真正的诚实圆盘，我们就可以证明庞加莱猜想和第四维中的一大堆其他东西。” “但是 [Casson] 做不到。” 弗里德曼的洞察力 从 1974 年到 1981 年，弗里德曼花了七年时间，做到了。大部分时间里，他几乎没有和任何人谈论他的工作，除了他的年长同事罗伯特·爱德华兹，他是一位导师。 “他在[圣地亚哥]把自己关了七年来思考这个问题。马克斯·普朗克数学研究所的彼得·泰希纳 (Peter Teichner) 说：“他在想办法的过程中并没有与其他人进行太多互动。” 现在在加州大学伯克利分校的 Robion Kirby 是最早了解 Freedman 证明的数学家之一。为了评估主要数学结果的重要性，柯比试图想象在其他人提出之前需要多长时间，按照这个标准，弗里德曼的证明是柯比在他漫长的职业生涯中看到的最惊人的结果。 “如果他没有这样做，我无法想象谁能做到，我不知道多久，”柯比说。
弗里德曼需要证明卡森手柄与平坦的惠特尼圆盘等价：如果你有一个卡森手柄，你就有一个惠特尼圆盘，如果你有一个惠特尼圆盘，你可以分离曲线，如果你可以分离曲线，你已经确定同伦球与实际球同胚。 他的策略是证明你可以用同一组零件建造两个物体——卡森手柄和平坦的惠特尼圆盘。这个想法是，如果你可以用相同的部分构建两个东西，它们在某种意义上必须是等效的。Freedman 开始了建造过程并取得了相当大的进展：他几乎可以用相同的组件建造几乎所有的 Casson 手柄和几乎所有的圆盘。 但有些地方他不能完全完成画面——就像他在创作一幅肖像一样，他看不到拍摄对象脸上的某些方面。那么，他的最后一步是证明他照片中的那些空白——他看不到的地方——从他所追求的等价类型的角度来看并不重要。也就是说，图片中的间隙不可能阻止 Casson 手柄与圆盘同胚，无论它们包含什么。 “我有两个拼图，100 块中有 99 块匹配。这些剩余的东西真的改变了我的空间吗？弗里德曼证明他们不是，”雷说。 为了完成这最后一步，弗里德曼借鉴了数学界称为 Bing 拓扑的技术，以数学家 R.H. Bing 的名字命名，后者在 1940 年代和 50 年代开发了它。但他将它们应用在一个全新的环境中，得出了一个看似荒谬的结论——最终，差距并不重要。 柯比说：“这就是证明如此引人注目的原因，也使得其他人不太可能找到它。” 弗里德曼在 1981 年夏天完成了他的证明大纲。不久之后，最终将其置于数学记忆中的因素变得显而易见。 传播新闻 那年 8 月，弗里德曼在加州大学圣地亚哥分校的一次小型会议上宣布了他的证明。大约有 10 位最受尊敬的数学家参加了会议，他们最有可能了解弗里德曼的工作。 在活动开始之前，他寄出了一份 20 页的手写手稿副本，概述了他的证明。在会议的第二天晚上，弗里德曼开始展示他的作品。他一次讲不完，所以他的谈话一直延续到第二天晚上。当他说完时，他的小观众都感到困惑——弗里德曼的导师爱德华兹就是其中之一。在 2019 年的对过程的采访中，爱德华兹回忆了得到弗里德曼的演讲时的震惊和怀疑。 “我认为可以公平地说，观众中的每个人都发现他的演讲令人难以置信且难以理解，认为他的想法是愚蠢和疯狂的，”爱德华兹说。 弗里德曼的证明在很大程度上似乎不太可能，因为它并没有真正充实。他对证明应该如何进行有一个想法，并且有一种强烈的、几乎是超自然的直觉，即这种方法会奏效。但他并没有真正做到这一点。 “我无法想象迈克在细节上如此摇摆不定的情况下，他怎么有勇气宣布一个证明，”也参加了会议的柯比说。 但后来，几位数学家留下来与弗里德曼交谈。至少，潜在结果的重要性似乎值得。经过两天的交谈，爱德华兹对弗里德曼试图做的事情有足够的了解来评估它是否真的有效。在会议结束后的第一个星期六早上，他意识到确实如此。 “[爱德华兹] 说，'我是第一个真正知道这是真的，’”柯比说。 一旦爱德华兹被说服，他就会帮助说服其他人。在某种程度上，这就足够了。没有高级数学委员会正式证明结果是正确的。接受新陈述的实际过程更为非正式，依赖于应该最了解的数学界成员的同意。 “数学中的真理意味着你让专家相信你的证明是正确的。然后它就变成了现实，”泰希纳说。“弗里德曼说服了所有专家，他的证明是正确的。” 但这本身并不足以通过该领域公布结果。为此，弗里德曼需要一份书面声明，证明从未见过他的人可以自行阅读和学习。而那是他从未做出过的。
继续 弗里德曼向《微分几何杂志》提交了他的证明大纲——这是他真正拥有的一切。该杂志的编辑丘成桐在决定是否发表之前将其分配给外部专家进行审查——这是所有学术出版的标准保障。但他分配给它的人几乎不是一个客观的专家：罗伯特爱德华兹。 审查仍然需要时间。证明本身有 50 页长，爱德华兹发现他正在为证明的每一页写一页密集的数学笔记。几周过去了，期刊的编辑们变得焦躁不安。爱德华兹定期接到期刊秘书的电话，询问他是否对证明的合法性做出了判断。在 2019 年的同一次采访中，爱德华兹解释说，最后，他告诉杂志证明是正确的，尽管他知道他没有时间完全检查出来。 “下次秘书打电话给我时，我说'是的，论文是正确的，我向你保证。但我不能很快生成一份合适的裁判报告。'所以他们决定接受并按原样发布，“他说。 这篇论文发表于 1982 年。它包含错别字和拼写错误，实际上仍然是弗里德曼完成工作后散发的大纲。任何试图阅读它的人都需要自己填写这个全新论点的许多步骤。 所发表文章的局限性立即显现出来，但没有人站出来解决这些问题。弗里德曼转而从事其他工作，不再讲授他的庞加莱证明。差不多十年后，在 1990 年，出现了一本书，试图提供更易于理解的证明版本。它是由弗里德曼和弗兰克奎因（Frank Quinn）撰写的，现在在弗吉尼亚理工学院和州立大学，尽管它主要是由奎因撰写的。 书的版本几乎没有可读性。它假设读者为本书带来了一定数量的背景知识，而这些知识实际上几乎没有人拥有。没有办法阅读它并从头开始学习证明。 “如果你有幸和那些理解证明的人在一起，你仍然可以学习它，”泰希纳（Teichner）说。“但是回到[书面]来源的人意识到他们不能。” 几十年来，这就是事情一直存在的地方：数学史上最惊人的成果之一被少数人知道，而其他人却无法获得。 数学界的其他人可能会像弗里德曼一样继续前进，但他的证明太重要了，不能完全忽视。因此，社区适应了这种奇怪的情况。许多研究人员采用弗里德曼的证明作为黑匣子。如果你假设他的证明是正确的，你可以证明很多关于四维流形的其他定理，很多数学家都做到了。 鲍威尔说：“如果你只是接受它是真实的，你就可以以多种方式去使用它。” “但这并不意味着你想凭信心接受一切。” 随着时间的推移，随着年轻的研究人员进入数学领域并可以选择在他们想要的任何领域工作，选择研究证明的人越来越少。 弗里德曼明白了。“在一个你不了解基本定理的领域工作并不是那么令人满意，”他说。“基本上，40岁以下的人都不知道证明的情况出现了，这点信息最终可能会丢失，这有点可怕。” 正是在这一点上，泰希纳——他在 1990 年代初期从弗里德曼本人那里得知了这个证明——决定发起一项救援任务。他想创建一个文本，让任何有资格的人都可以自己学习证明。 “我决定是时候写一些你能理解的东西了，”他说。
未来证明的弗里德曼 泰希纳首先直接回到源头。2013 年，他要求弗里德曼在马克斯普朗克研究所的一个学期内进行一系列讲座，描述证明——这是他 30 年前发表的演讲的现代版本，以宣布结果。弗里德曼急切地同意了。 “他肯定担心它会丢失。这就是他如此支持的原因，”泰希纳说。 早在 1981 年，弗里德曼就曾向该领域的几位资深人士讲过课——他需要赢得这些专家。这一次，他的听众是泰希纳召集的 50 名年轻数学家来接过接力棒。弗里德曼在他位于圣巴巴拉的办公室通过视频提供的讲座是拓扑世界中的一件大事。 “在我的机构里，我们曾经在周五下午举行弗里德曼讲座，我们会在那里喝啤酒，看他谈论他的证明，”雷说，他当时是休斯顿莱斯大学的研究生。 讲座结束后，数学家斯特凡·贝伦斯 (Stefan Behrens) 努力将弗里德曼的评论转化为更正式的讲义。几年后的 2016 年，鲍威尔和包括贝伦斯在内的其他数学家根据这些笔记发表了一系列新的讲座，继续将弗里德曼的工作转化为更持久的东西。 “马克讲课，我们开始在这些讲义中填写越来越多的细节，然后就从那里开始，”雷说。 在接下来的五年里，鲍威尔、雷和他们的三位共同编辑组织了一个数学家团队，将弗里德曼的证明变成了一本书。最终产品于 7 月发布，将近 500 页，包括来自 20 位不同作者的贡献。弗里德曼希望这本书能够重振他革命性的数学领域的研究。
Mark Powell 和 Arunima Ray 创建了 Freedman 证明的新书长度版本，因为他们想自己理解它——并与新一代数学家分享它。 维多利亚·格林纳；斯蒂芬·弗里德尔 提供 “我认为这本书来得正是时候。人们正在以全新的眼光看待四维流形，”他说。 这本书在几个方面改进了弗里德曼证明的书面陈述。在写这本书时，作者发现弗里德曼用来证明原始期刊文章中不同定理的论证中存在一些错误。这本书修复了这些。它还全面介绍了 Bing 拓扑，这是弗里德曼用来证明他的卡森手柄和惠特尼圆盘结构中的差距无关紧要的数学领域。总而言之，这本书旨在具有教学性且易于理解。前面的章节提供了证明的大纲，后面的章节会填写细节。 “先有摘要，然后是更详细的摘要，然后是完整的细节，这应该使它具有可读性，”鲍威尔说。“在获得所有细节之前，你可以了解将要发生的事情的大局。但我们仍然掌握所有细节。” 编辑们希望将弗里德曼的强大技术推回到数学思维的主流。本书的第三部分详细介绍了四维拓扑中最大的开放问题，研究人员一旦掌握了弗里德曼的证明知识，就可能会处理这些问题。 “这本书的这一部分与弗里德曼原创作品的证明完全无关，”雷说。“它讨论了如何使用它来做接下来的事情。” 并且，参与该书的几位数学家已经根据弗里德曼的想法进行了新的研究。2013 年在本书过程开始时发表的一篇论文发现了 Bing 拓扑中以前处于休眠状态的技术的一些新用途。另一个，来自去年，使用编辑们在组装这本书时学到的想法来解决一个四维流形中有关结（knot）的“手术”的问题。 “它现在正在向前发展，因为他们很习惯使用圆盘嵌入定理，”Teichner 说。 这本书在数学领域内起到了辅助作用，甚至可能是必不可少的。但编辑们表示，他们的动机不仅仅是为了实现这个长期项目的实际目的。当他们开始工作时，弗里德曼的证明很漂亮，但很隐蔽。现在，它终于全面展示了。 更正：2021 年 9 月 10 日 弗里德曼在加州大学圣地亚哥分校宣布了他的证明，而不是在圣地亚哥大学。文章做了相应的修改。描绘相交曲线的图形也进行了修改，以更准确地反映文章的内容。 |
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