【原】球坐标系

球坐标系

在求解具体的物理问题之前，选择适当的坐标系是很重要的。如果坐标系选择得当，就能够简化问题的求解过程，使得到的结果易于理解，并且有利于深入探究所求解的问题的物理本质。如果坐标系选择不当，不仅会让求解过程复杂化，有时候甚至使得问题无法求解。直角坐标系、球坐标系和柱坐标系是在实际应用中经常被使用的坐标系。在物理学中，有许多问题都具有球对称性，在这种情况下，在球坐标系下求解问题是最好的选择。

要认识球坐标系，从地球仪开始是最直观的。将一个地球仪北极朝上放置，除了国家地区的地理标志之外，你会看到在地球仪上有许多规则的纵横交错的线条。首先你会注意到垂直于水平面的方向上有一系列在南北两极相交的线条，每一条这样的线条都围成一个大圆，所谓的大圆就是其半径等于球面半径的圆周，这些线条叫做经线；你还会注意到地球仪上有一系列与水平面方向平行的线条，每一条这样的线条都绕着南北极的连线围成一个小圆，小圆的半径从赤道开始向两极逐步递减，这些线条叫做纬线。实际上，在地球仪的球面上的每一点，都有一条经线和一条纬线相互交叉而过，只不过并不是每一点上的这两条线都被画出来罢了。

在地球仪上，我们只是局限在球面上讨论问题。但是，经线和纬线的概念完全可以被推广到三维空间中的每一点。这些纵横交错的经线和纬线就构成了球坐标系的基本图像。

要构造一个球坐标系，首先要选择一个原点作为参考点，还要选择三个相互垂直的方向作为参考方向。这样构想出来的图像实际上就是一个三维直角坐标系。为了讨论方便起见，这个直角坐标系的三根坐标轴按图中所示的方向画出。其中的Z轴在即将构造的球坐标系中被称为极轴。考虑空间中任意一点P。从原点向P点画一个矢量，称之为位置矢量，也叫径向矢量，有时候也简称为位矢或者径矢，用符号标记，它的大小就是P点与原点之间的距离，称为径向距离，其取值范围可以是从0到无穷大之间的任意值；P点的径向矢量与极轴的夹角叫做极角，在0到π之间取值；径向矢量在XY平面上有一根投影线，它与X轴的夹角叫做方位角，取值范围在0到2π之间。在球坐标系中，空间中任意一点可以用径向距离、极角和方位角这三个数字唯一地确定。

对于空间中的任意点，可以用这个点在直角坐标系中的三个坐标值唯一地确定，也可以用该点在球坐标系中的三个坐标值唯一地确定。既然这样，对于空间中的任意一点，这两组数字就应该是等价的。因此，它们之间应该存在某种联系，我们把这种联系称为坐标变换。从我们画出来的球坐标系与直角坐标系之间的关系很容易就可以看出，空间中任意一点的球坐标值和直角坐标值之间满足这样的变换关系：

以及逆变换关系：

其中的是P点的位置矢量对直角坐标系的三个坐标轴的夹角，称之为方向角。

在直角坐标系中，有一组相互垂直的固定不变的单位矢量：，这三个单位矢量分别沿着直角坐标系的三个坐标轴的方向。空间中任意一个矢量都可以表示成这三个单位矢量的线性组合：

在球坐标系中，也存在一组具有类似作用的单位矢量。与直角坐标系不同的是，这组单位矢量不是固定不变的，而是随着所研究的空间点不同发生改变。考虑空间中的任意一点P，这组单位矢量中的第一个是沿着径向矢量方向的径向单位矢量，用标记。利用这个单位矢量，径向矢量就可以简单地表示成。第二个单位矢量平行于过P点的经线的切线、指向极角增加的方向，用标记。第三个单位矢量平行于过P点的纬线的切线、指向方位角增加的方向，用标记。

任何一个坐标系都存在坐标面的概念。所谓的坐标面，就是任意一个坐标等于常数的面。在直角坐标系中，坐标面是与坐标轴垂直的平面。球坐标系的坐标面也是任意一个坐标等于常数的面，只不过这些面不一定是平面。径向距离等于常数的面是一个以原点为中心的球面；极角等于常数的面是一个以极轴为对称轴的圆锥面；方位角等于常数的面是一个某一条经线所在的平面。

在进行理论推导的时候，经常需要在一个球面上做积分，这就需要在球面上构造一个面元。球面上的面元由两条极角不同的纬线和两条方位角不同的经线围成。习惯上约定，这个面元的方向朝向径矢的方向。显然，这样围起来的一个面元的面积。其中用来量度一个叫做立体角元的量，一个立体角元是一个面元对原点所张的立体角，它由两个极角不同的圆锥面和两个方位角不同的平面围成。

更多的时候需要在一个空间范围内做积分，这时候就需要一个体元的体积的表达式。在直角坐标系中，体元往往选择其表面在坐标面上的长方体。在球坐标系中，体元的选取有类似的特点，所选取的体元的表面在坐标面上。球坐标系中的体元由两个径向距离不同的球面、两个极角不同的圆锥面和两个方位角不同的平面围成。或者借用立体角元的概念，一个体元是一个立体角元夹在两个不同半径的球面之间的那部分空间。这样围起来的一个体元的体积。