【课程】西南科大网教学院_数学分析42_12.3 三重积分的概念及计算

 

一、 三重积分的概念

 

三重积分是二重积分的推广，它的概念仍象定积分一样，经过分割，求和，

 

取极限三个步骤，从而得到精确值.

   

定义12.3.1  设函数在三维空间的有界闭区域有定义，用任意的曲面网T将分成n个小区域

任取，并仍用表示第i个小区域体积，作和式

令，如果存在常数，不论曲面网T如何作，如何取，都恒有

则称在区域可积，称为在上的三重积分，记为其中称为被积函数，则称为三重积分的体积微元．

    同二重积分的情形一样，我们有如下可积性定理：

    定理12.3.1  若在三维空间的有界闭区域连续,则在可积,且

    定理12.3.2  若在三维空间的有界闭区域有界，且不连续点只分布在的有限块连续的曲面上，则在可积，且

    三重积分的性质也和二重积分的性质完全类似，这里从略．

 

二、 直角坐标系下三重积分的计算

 

定理14.4.3 设空间区域是以xoy的有界闭区域

的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面以及二曲面 与 所围成的空间区域，且在连续，则

 

如果空间区域满足一定的条件，则三重积分

       (1)

可以化成先对，再对，最后对积分的累次积分．同理，在一定条件下，我们也可将三重积分(1)化成其它顺序的累次积分．

三、 三重积分的换元法

    和二重积分积分类似，对某些类型的三重积分，通过适当的变量代换，可以简化计算.

    1. 利用柱面坐标求三重积分

    在三维空间中建立直角坐标系之后，我们任取一点如果把面的坐标系换成极坐标系，则点又有了新的坐标，这时，我们称为点的柱面坐标．

其中              

   当（常数）时，有

  

此时, ，即表示以z轴为中心轴半径为的圆柱面（如图）

.

当（常数）时，有

由此可以推得（或），即表示以z轴为边缘的半平面（如图）．

    当（常数）时，有

表示与而平行的平面，这平面在z轴的截距为（如图）．

现在我们利用柱面坐标计算三重积分．

    定理12.3.4  设在有界闭区连续，且点的柱面坐标为，则

从三重积分的定义可知，当时，有

    2. 利用球面坐标计算三重积

    在直角坐标系中，从空间中任意一点作垂直于平面且交于点P，连接OM及OP，记，面对正z轴方向看，自x轴正向按反时针转到的角度为， 这里，再记自z轴转到的角度为，这里．这样对于空间中任一点，就有唯一的一组有序数与之对应．这样确定的

坐标系称为球坐标系，并记点M的球坐标为，如图．

    球坐标与直角坐标的关系是

当（常数）时，由 

得                         .

即表示球面(如图)．

当（常数）时，由

得                

即 表示以轴为中心轴的锥面，表示平面（如图）．

当（常数）时，由 

得                          

从而表示以z轴为边界的半平面（如图）．

现在我们利用球面坐标来计算三重积分．

定理12.3.5  若f(x,y,z)在有界闭区域V连续，则

其中：是点M(x,y,z)的球面坐标．

典型例题：

例1.  计算三重积分，其中由,与所围成的区域．

解   

      

例2.  利用柱坐标计算三重积分，其中区域为半球体：

，．

    解 

       

例3.  计算，其中V是

由与所围成的

区域．

解 将代入中，得

所以圆锥的顶角为．

    用球面坐标代换，区域V的球面坐标表示为：

所以