【原】全同粒子系：波函数

如何构造满足对称或反对称要求的波函数，是多粒子系统理论的首要问题。

考虑由两个全同粒子组成的系统。忽略粒子之间的相互作用，系统的哈密顿量可以表示成两个单粒子哈密顿量之和：

其中的两个单粒子哈密顿量的函数形式完全相同。把这个形式的哈密顿量用到薛定谔方程中：

方程的形式显示，可以用分离变量的方法将解写成两个单粒子波函数的乘积：

相乘的两个单粒子波函数在形式上完全相同。分离变量的结果是得到了两个一模一样的方程，它们是同一个单粒子方程用到两个粒子上去的结果：

求解单粒子方程将得到单粒子波函数及其本征值：

由此得到系统的波函数：

这两个态都对应于同一个能量本征值：

这种与交换粒子相联系的简并叫做交换简并。

上面把单粒子波函数相乘得到的总波函数显然不具有对称的或反对称的性质，不能用来做这个全同粒子系的波函数。如果要求波函数对于交换两个粒子是对称的，就应该按照以下的方式构造波函数：

如果要求波函数对于交换两个粒子是反对称的，就应该按照以下的方式构造波函数：

结果发现，如果两个粒子的力学状态完全相同：，系统的波函数必定等于零。于是，波函数的反对称性不允许有两个全同费米子处于相同的量子态。这个规则被称为泡利不相容原理。

在量子力学发展的初期，为了解释原子内部电子的排布规律，泡利在早期量子论的框架下首先提出不相容假说。后来，海森伯、费米和狄拉克用波函数的反对称性说明了这条自然法则。泡利不相容原理是理解原子内部电子的排布方式和元素周期表的理论基础。元素周期表是门捷列夫于1869年提出来的，然而，人们并不清楚周期表所挂靠的理论依据。1921年，玻尔首次从物理学的角度指出，元素性质呈现的周期性可以用原子内电子的轨道排布来解释。1925年，泡利提出不相容假说后，人们更深刻地认识到，元素的物理化学性质呈现的周期性来源于核外电子组态的周期性变化，是电子排布具有壳层结构的反映。

以上由两个全同粒子组成的系统的波函数的构造方法可以推广到由多个全同粒子组成的系统，系统的对称的或反对称的波函数原则上也可以用单粒子波函数做类似的排列组合构造。但这将是一件繁琐的工作。