【原】解析函数的洛朗展开

当把一个解析函数在某个解析点的邻域内展开成幂级数时，所得到的级数是一个泰勒级数，没有负幂项。正如前面所说，即使是一个解析函数，也有可能在某些点上是奇异的。如果一个解析函数在复平面上有一个奇点，也可以用这个奇点做展开点，把函数展开成幂级数，在这种情况下，我们将得到解析函数的洛朗展开。

设想有一个解析函数 f(z)，它在复平面上有一个奇点 b。用一个以 b 点为圆心、半径为无穷小的圆周 C₁ 把这个奇点隔离。

假设 f(z) 在以 b 为圆心、半径为 R 的圆周 C₂ 内解析，f(z) 就是环形区域 0<|z-b|≤R 内的解析函数。在这个环域内用割线将两个圆周连接起来构成单连通区域，在这个单连通区域内应用柯西积分公式：

其中沿 C₁ 的积分按顺时针方向进行，所以，用来标记积分曲线的字母的右上角带有一个负号。由于沿割线上、下两岸的积分相消，这个积分的结果显示，对一个环形区域，柯西积分公式依然成立：

其中闭合积分路径 C 由两部分构成，它们把上述沿 C 的积分分解成两部分：

也就是前述单连通区域中的柯西积分公式右边的头两项的积分。把沿 C₁ 的积分的进行方向改为逆时针方向，就得到如下积分：

我们先研究第一个积分。与泰勒展开的情况相似，在第一个积分中，由于函数变量 z 在闭合积分路径所围的区域内，积分变量 ζ 在积分路径上，因此，把被积函数中的分母因子做如下改写：

借用实变级数理论的泰勒展开公式，把改写后的表达式展开成幂级数：

这个幂级数在圆周内一致收敛，可以逐项求积分：

其中的通项系数

再看第二个积分。在第二个积分中，由于函数变量 z 在闭合积分路径所围的区域外，积分变量 ζ 在积分路径上，因此，把被积函数中的分母因子做如下改写：

仍然借用实变级数理论的泰勒展开公式，把改写后的表达式展开成幂级数：

这个幂级数在闭合积分路径外一致收敛，可以逐项求积分。为了使积分的形式看起来与沿 C₂ 积分的形式一致，在把求和号与积分号互换之前，先对求和指标做指标替换，把级数表达式改写成如下的样子：

把这个式子代入积分式中逐项积分：

其中的通项系数

把沿 C₁ 和 C₂ 的两个积分合并起来，就得到了对闭合路径 C 的积分结果：

这个结果被称为解析函数的洛朗展开。与泰勒展开的情况相似，一个解析函数的洛朗展开的收敛范围由它的奇点的分布特性完全决定。需要注意的是，在洛朗展开中，展开系数的表达式很像函数 f(z) 的 n 阶导数在 b 点的值的表达式。这种联想有助于我们记住这个表达式，但这仅仅是一种联想，函数 f(z) 在 b 点的导数根本就不存在。

一个解析函数在某个环域内的洛朗展开是唯一的，称之为洛朗展开的唯一性定理。利用唯一性定理，当我们对一个解析函数做洛朗展开时，可以用已知的结果通过拼凑得到我们所需要的级数。