【原】弦的自由振动：本征值问题

在科学研究中经常遇到含有对多个变量的导数的微分方程，称之为偏微分方程。

考虑一根放置于的两端固定的弦的自由振动，用 u(x,t) 表示弦上各点离开平衡位置的距离，u(x,t) 满足如下偏微分方程：

由于弦的两端在任意时刻都是固定不动的，因此必有

这正好给出了求解方程所必须的两个边界条件；另一方面，我们还需要知道弦上任意点在初始时刻的位置和速度的分布：

这正是求解方程所必须的初条件。于是，把一根两端固定的弦的自由振动抽象成一个数学问题，就是在的范围内求解以下偏微分方程：

求解偏微分方程最常用的方法是分离变量法。分离变量法的基本思想是，把特解分解成单变量函数的乘积：

把这个分离变量形式的特解代入上述偏微分方程中并稍作整理后得到

等式两边除以分离变量形式的特解，得到以下等式：

等式两边是不同自变量的两个函数，这样的等式成立的前提是，等式两边等于同一个常数。为了后面理论推导的便利，把这个常数写成

这样，我们就把一个两个变量的偏微分方程转换成两个常微分方程：

再将分离变量形式的特解代入两个边界条件中：

由于这两个等式在任意时刻均成立，因此，边界条件就变成了对特解的空间部分的约束条件：

把这两个约束条件与特解的空间部分满足的常微分方程联合起来，就可以对特解的空间部分求解：

为了求解上述方程，要先把待定常数的取值范围确定下来。

先考虑 λ=0 的情况，在这种情况下，方程的解

利用第一个约束条件得到，再利用第二个约束条件得到。由此可见，这种情况给出的是一个没有任何物理意义的恒等于0的解。也可以通过对时间演化方程的讨论把 λ=0 剔除。当 λ=0 时，时间演化方程的解为

结果发现，随着时间推移，解变成无穷大。然而，任何可测量的物理量都必须是有限的，因此，由 λ=0 得不到任何有物理意义的解，必须将其抛弃。对于 λ<0 的情况，无论是空间部分的方程还是时间演化方程，得到的都是指数形式的解，这显然不符合波动方程要有一个波动解的要求。因此，λ<0 也要被去掉。

这样，就只剩下 λ>0 这种情况了。在这种情况下，空间部分的微分方程的解

由第一个约束条件得到，于是，方程的解简化为

由第二个约束条件得到

显然， A≠0，否则，得到的解恒等于0，没有任何物理意义，因此，为了使等式成立，必有，。于是，有物理意义的解

我们看到，在分离变量的过程中引入的常数必须取某些特定的数值，才有可能得到有物理意义的解。常数的这种特定数值叫本征值，相应的微分方程称为本征方程，它与约束条件一起构成本征值问题。