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数学分支之十七:偏微分方程

2011-05-22  小袤

数学分支之十七:偏微分方程

 

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。

 

在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量函数来描述已经显得不够了,不少问题有多个变量的函数来描述。比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量,等等。这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。应该指出,对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示,只能是理想化的,如介质的密度,实际上“在一点”的密度是不存在的。而人们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限,这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

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