【原】寻找子群

寻找子群没有特别的方法，基本上就是从一个群元开始，找出它与其他群元相乘时的封闭子集。如果一个群的阶比较高，寻找子群会比较繁琐，需要使用一些辅助的手段。

寻找子群第一件要做的事情是确定可能存在的子群的阶，这可以通过求出群的阶的因子得到，因为一个群的阶一定能够被它的各个子群的阶整除。比如说 D₃ 群是一个 6 阶群，它的可能存在的子群必定是 2 阶或者 3 阶的。确定了可能存在的子群的阶之后，就可以开始着手寻找子群的工作了。

设想有一个 n 阶的群 G，我们希望找到它的一个包含 g 的子群。如果 g 自乘一次得出单位元素，那么，{e,g} 就是一个子群。当然，对一个奇数阶的群，这种情况是不可能出现的，因为奇数不能被 2 整除(参见"子群的陪集")。具有这个性质的群元很容易从乘法表中找到，只要在乘法表的对角线位置找到单位元素，标题行和标题列上与这个位置对应的群元就是要寻找的群元。比如说 D₃ 群，它的乘法表是这样的：

由乘法表马上可以得到，{e,a}、{e,b}、{e,c}分别构成子群。

把乘法表中对角线上的单位元素剔除，在其他位置找到一个单位元素，这个单位元素所在的标题行与标题列上的两个群元互逆，并且属于同一个子群。例如 D₃ 群的 d 和 f 这两个群元。

如果 g²≠e，由于 g² 必定是 G 的一个群元，因此，用 g 乘 g² 得到的 g³ 也必定属于 G，如果 g³=e，则 {e,g,g²} 就是一个子群。对于 D₃ 群，{e=d³,d,d²=f} 就是一个例子。

如果 g³≠e，则继续上述过程，用 g 乘 g³ 得到 g⁴，这个过程有可能一直继续下去，直到某个 k≤n，这时 gk=e。于是，我们找到了一个 k 阶循环子群：{e,g,g²,g³,┈,gk-1}。这个结果其实暗示了子群的一个重要性质：从一个 n 阶群的任意一个群元开始，总能找到一个 k≤n 阶的循环子群。对这个性质可以做进一步的推广：所有与 g 相乘满足交换律的群元构成一个包含 g 的子群。

如果通过某种途径已经找到了 G 的一个 k 阶子群 H，就可以在这个基础上找与 H 同阶的子群。在 G 中取一对不属于 H 的互逆的群元 g 和 g⁻¹，把它们按照以下方式与 H 中的群元相乘：

H'=g⁻¹Hg，H"=gHg⁻¹

得到的两个集合可能相等，也可能不相等，它们构成与 H 同阶的 G 的子群，称之为 H 的共轭子群。可以用 D₃ 群为例来简单地说明这个规则。假定我们已经找到了 D₃ 群的一个子群 H={e,a}，用不属于 H 的互逆群元 d 和 f 按上述规则与 H 中的群元相乘，得到以下两个集合：

dHf={e,b}，fHd={e,c}

这两个集合互不相等，都是 H 的共轭子群。

由于 k=n 的子群并不是一个真子群，因此，如果在从某个群元 g 开始的寻找过程中，一旦所找出的群元数目超过 n 的最大因子，就可以马上中止寻找的过程，不可能有包含 g 的真子群。

如果你已经找到了群 G 的一个封闭子集，但是却发现这个集合包含的群元的数目不能整除群 G 的阶，那就毫不犹豫地重新开始吧，因为你肯定做错了。

以上讲的都是寻找子群的一些辅助的技术，使用这些技术可以在一定程度上简化寻找子群的工作。由于到现在为止我们所认识的最复杂的群就是 D₃ 群，对于寻找子群而言，用它做例子其实没有多少说服力，因此，我们还是把对上述规则的应用留待日后处理。就目前而言，只要对照 D₃ 群对上述规则做初步的认识就够了。