问题背景 (以上题目来源于网络) 01 巧借旋转、翻折构造全等三角形 借助∠EAF=45°,借助翻折、旋转等运动,构造全等三角形,从而将原来不在同一直线(同一三角形)的三条线段转化在同一直线(同一直角三角形)中,寻找线段间的数量关系。 本题的第一问需要证明EF=BE+DF,由于三条线段都不在一直线上,因此借助∠EAF=45°,通过旋转△ABE,利用两次三角形全等,将线段EF、DF和BE都转化到线段PF上,因此达到线段的转化。 本题的第三问涉及到了“一条线段的平方等于另两条线段的平方和”,因此联想构造直角三角形,借鉴第一问的方法,可以通过旋转构造全等三角形,将所有线段转化到直角△DQN中,利用勾股定理证明线段间的数量关系。同样,借助翻折也可以构造直角三角形,方法如下: 在等腰直角三角形中同样适用 本题的第四问同样涉及到了线段的平方和,但是左边是2倍的平方和,因此联想到“√2”,即联想到等腰直角三角形,因此本题的关键在于构造全等三角形和直角三角形,同时要发现其中隐含的等腰直角三角形。对于另一种情况,采取同样的构造方法。 本题的第六问涉及到了线段间的数量关系。因此需要将BA和BE转化到一条线段上,借助旋转,构造全等三角形,再根据等腰直角三角形的性质,进行进一步的转化。(其中一组等边利用第五题的结论得到) 02 构造相似三角形 本题的第二问涉及到了角相等的证明,根据第一问可以得到一组等角。但是另一组角需要利用图中丰富的“斜X型相似三角形”进行转化。 本题的第五题要证明△ANE为等腰直角三角形,联想与△ACD相似,通过边的转化,可以利用△ACE与△ADN相似得到AE:AN=√2,因此本题通过两次相似进行证明。 本题的第七题和第八题借助第五题的结论,通过相似三角形对应边成比例,得到相应线段的比值。 本题的第十一题利用相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,得到相似三角形间的数量关系。 03 借助平行线分线段成比例定理 本题的第九题通过作平行线,借助平行线分线段成比例定理证明中点。 本题的第十题在第九题的基础上,结合等腰直角三角形的性质,证明线段间的倍半关系。 END |
|