【原】求解运动学微分方程：定积分法

将运动学微分方程改写成微分形式，从初始时刻开始到任意时刻对时间做定积分，就可以得到位置或速度与时间的依赖关系。

在《获取物体的运动学量》和《求解运动学微分方程：原函数法》中，我们分别从物理和数学两个层面出发，讨论了如何利用实测结果获取物体的位置与时间的函数关系。容易验证，这两种方法得到的结果是一致的。为了做这个验证，重新写下求解运动学微分方程所得到的数学结果：

显然，是的一个原函数，而则是的一个原函数，因此必有：

把这两个等式代入求解运动学微分方程的数学结果中，马上就可以得到：

这正是从物理层面出发得到的结果。

其实，从物理层面出发得到的定积分结果也可以直接从数学层面出发导出。为了证实这一点，写下速度与加速度的定义式经过改写后的微分形式：

，

假定粒子在初始时刻处于初始位置或具有初始速度，对上述两个经过改写的等式从初始时刻到任意时刻做定积分。在位置与速度的关系式中，等式左边的积分必定等于，而在速度与加速度的关系式中，等式左边的积分必定等于，于是：

这正是我们想要得到的结果！

我们看到，无论是原函数法还是定积分法，所得到的结果是相同的。这显示无论用什么方法去求解运动学微分方程，只要给定了初始条件，最终都会得到一个唯一的物理结果。在数学上，这个特点被称为微分方程的解的唯一性定理。

由于微分方程的解是唯一的，因此，在求解物理学的微分方程时，可以用任何一种方法去求解，这种方法可能是简便的，也可能是我们熟悉的。在决定用某种方法去求解时，无需顾忌采用不同的方法所得到的结果是否会不一致。由于这个原因，今后在求解类似的微分方程时，会视具体问题的实际情况而采用不同的方法。

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