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原函数的定义：如果在区间I上， F’(x)=f(x)， 那么称F(x)是f(x)在区间I上的原函数（或反导数）． 【注】如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中的任何两个原函数之间只相差一个常数． 不定积分的定义：函数f(x)在区间I上所有原函数的一般表达式称为f(x)在I上的不定积分，记作 对于原函数的存在性有如下两个重要结论： (1) 如果在区间I上函数f(x)连续，则函数f(x)在区间I上存在有原函数. (2) 如果在区间I上函数f(x)有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间I上没有原函数，如果函数在区间I上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数. 例如，函数 在x=0点出分别为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点和可去间断点，它们在区间(-∞,+∞)上都不存在原函数. 它们有没有原函数关键就在分界点处. 第一个显然不具有原函数，在x=0处对应着函数f(x)的尖点位置；第二个g(x)假设有原函数G(x)，则在x≠0时，有G(x)=C，由可导必定连续，则G(0)=C，所以在R内G(x)=C，从而有G’(x)≡C，从而与所设G(x)为g(x)的原函数矛盾. 同样，f(x)=1/x在区间(-∞,+∞)上不存在原函数，其中x=0为函数f(x)的无穷间断点. 虽然我们通常记 但这仅仅是一种形式上的记法，并不代表f(x)=1/x在区间(-∞,+∞)上存在原函数，因为对数函数ln|x|在x=0处根本没有定义，当然也就不可能存在导数. 另外如我们非常熟悉的两个函数 其中x=0是函数f(x)的振荡间断点，但是函数f(x)存在有原函数F(x). 另外如函数 x=0是函数f(x)的振荡间断点，但是该函数在包含x=0的任意区间内不存在原函数. 这个我们可以借助数学软件求(1/x)sin(1/x)在非零点的原函数，然后求原函数趋于0的左右极限，可以验证原函数在原点处不连续，所以在原点处导数不存在. 定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则变上限函数 为f(x)在[a,b]上的一个原函数. 【注1】这个定理不仅说明了连续函数必存在原函数，而且揭示了积分学中定积分与原函数之间的联系.根据这一定理可知，初等函数在定义域中的任何区间上都存在原函数. 【注2】初等函数的导数一定仍然为初等函数，但是初等函数的原函数不一定可以用初等函数描述出来. 对于原函数不能用初等函数的描述的函数的不定积分我们称为不可积的积分. 比如常见的下面一些积分： 还有： 下面我们借助数学软件通过数学实验方法进行计算与验证： 以下是我们登录网址 www.wolframalpha.com 后，在其搜索编辑框输入对应的内容后搜索计算得到的结果，其中第一个为函数(1/x)sin(1/x)的不定积分结果，它的原函数为正弦函数积分函数描述的结果，从其图形中可以看到在原点处为间断点，我们可以对其求趋于0的左右极限，可以发现一个为π/2，一个为-π/2. 这是概率积分的结果，结果描述为误差函数的描述形式. 以上验证过程在Mathematica软件中更直观，如：
内容主要参考如下教材： 朱健民，李建平：高等数学(上)，高等教育出版社，2015 |
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