【原】又冷门又炫酷的数学定理，学完保管周围只有你会，快找同学炫一炫

函数的凸性问题，在许多人看来，已经算是数学知识中相对比较冷门的了。老黄今天要分析的这个关于凸函数的定理，更是冷门中的冷门。学会后，可以在同学们间，特别是美女帅哥同学面前炫一炫哦。

定理以证明题的形式展示如下：

若f,g均为I上的凸函数，且凸性相同，

记M(x)=max{f(x),g(x)}和m(x)=min{f(x),g(x)}，

证明：若f,g上凸，则m(x)上凸；若f,g下凸，则M(x)下凸.

分析：不知道你了不了解最值函数，就是题目中的M(x)和m(x)。M(x)是最大值函数，即返回两个函数在同一自变量上的最大值；m(x)是最小值函数，即返回两个函数在同一自变量上的最小值。

这道证明题提出了这样一个问题。凸函数的最值函数有没有凸性规律。自然，它是存在规律的。不过这里有两点需要注意的。

(1)首先两个函数必须有相同的凸性，即两个函数同为上凸，或同为下凸函数。如果一个上凸，一个下凸，就不会有规律。随便找两个函数，一个上凸，一个下凸，画出它们的图像，就一目了然了。比如上凸函数y=ln(x+3)和下凸函数y=e^x，如下图，在原来公共的凸性区间上，就确定不了它们的最值函数的凸性。注意：两条曲线如果少于两个公共点，就不在这个定理的范围内。

(2)上凸函数之间，只有最小值函数上凸，最大值函数无法确定凸性；下凸函数之间，只有最大值函数下凸，反之最小值函数就无法确定凸性。接下来进行证明：

证：设x1,x2∈I, λ∈(0,1)，若f,g均为I上的上凸函数，则

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)≥λm(x1)+(1-λ)m(x2)

g(λx1+(1-λ)x2)≥λg(x1)+(1-λ)g(x2)≥λm(x1)+(1-λ)m(x2)，

m(λx1+(1-λ)x2)=min{f(λx1+(1-λ)x2),g(λx1+(1-λ)x2)}

≥λm(x1)+(1-λ)m(x2)，∴m(x)上凸. 【如：当f(x)=-x^2+2, g(x)=lnx时，如下图】

同理可证：当f,g均下凸时, M(x)也下凸. 【如：当f(x)=x^2, g(x)=ex时，如下图】

图像很明确地说明了问题，对于两个上凸函数而言，最小值函数上凸的性状是非常明显的，而你并无法从图像中确定它们的最大值函数的凸性；而对于两个下凸函数而言，最大值函数下凸的性状同样明显，但你也无法从图像中确定它们的最小值函数的凸性。注意，必须在原凸性区间上确定，不能细分区间，因为那样是没有确定性的。

另外，从两个最值函数的图像，我们还可以确定一个一直存在某些争论的问题，那就是凸函数在定义域上，未必是可导的。可以很明显地看到，最值函数在两个函数的交点处，往往是不可导的，但它们仍具有凸性。