2022年东南数学奥林匹克几何题

⊿ABC垂心为H，AB、AC上的垂足分别为F、E，M为BC中点，D为BC上一点，满足∠BAM=∠CAD,∠ADH=∠MAH.求证：EF平分AD.

证明:设O为⊿ABC的外心，AO交EF于点J，熟知AO⟂EF.设HD交EF于点S，与AM交于点T.AH交BC于点K，AD交EF于点N.

∠ADH=∠MAH,则知⊿ADH∽⊿TAH,知∠ATD=∠DAH.熟知AH和AO为∠BAC的两条等角线，结合∠BAM=∠CAD知∠DAH=∠OAM，于是AO//TH，即HS⟂EF.

结合⊿AEF∽⊿ACB,J、K为相似对应点,N、M为相似对应点,

⊿HEF∽⊿HCB,S、K为相似对应点，则有

得 FJ=ES,N为EF中点.于是N=NS,结合AJ//DH,知N为AD中点。