学好数学“绝对值”②

【绝对值的性质】

1. 非负性

|a|≥0；若|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0；若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.

绝对值实为距离，绝对最小零距离。

2. 双解性

若|a|=|b|，则a-b=0或a+b=0；

若|x-a|=b，则x=a+b或x=a-b.

绝对值实为距离，左右各一莫丢弃。

3. 可分性

|ab|=|a||b|；|a/b|=|a|/|b|(b≠0).

绝对值实为距离，乘除运算可分离。

4. 多变性

|a|=|-a|=√a²=√(-a)²；

|a-b|=|b-a|=√(a-b)²=√(b-a)²；

|a²|=|a|²=|-a²|=a².

5. 不等性

若|x|＜a(a＞0)，则-a＜x＜a；

若|x|＞a(a＞0)，则x＞a或x＜-a；

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(三角不等式)；

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(三角不等式).

6. 符号性

若|a+b|=|a|+|b|，则ab≥0；

若|a-b|=|a|+|b|，则ab≤0；

若|a+b|=|a|-|b|，则ab≤0;

若|a-b|=|a|-|b|，则ab≥0.

同加异减绝对值，绝对相加增吾志。

异加同减绝对值，绝对相减去无知。

【例题剖析】

(1) |x+1|的最小值为____.

(2) |x+1|+|x-2|的最小值为____.

(3) |x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.

(4) 2|x+1|+|x-2|的最小值为____.

(5) |x+1|+2|x-2|的最小值为____.

(6) 1.5|x+1|+2.5|x-2|的最小值为____.

(7) 2.5|x+1|+1.5|x-2|的最小值为____.

(8) |x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值为____.

(9) 2|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.

【题目解析】

(1) 当x+1=0，即x=-1时，|x+1|取得最小值0；

(2) 当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|取得最小值3；

(3) 当x=2时，|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值4；

(4) 2|x+1|+|x-2|=|x+1|+|x+1|+|x-2|，

当x=-1时，2|x+1|+|x-2|取得最小值3；

(5) |x+1|+2|x-2|=|x+1|+|x-2|+|x-2|，

当x=2时，|x+1|+2|x-2|取得最小值3；

(8) 当2≤x≤3时，

|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值6.

(9)因为 2|x+1|+|x-2|+|x-3|

=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-3|，

所以当-1≤x≤2时，

|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值7.

【实战演练】

(1) |x+1|+|2x+4|的最小值为____；

(2) |2x+1|+|3x-6|的最小值为____；

(3) 若|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则a的值为____;

(4) 若|x+1|+|2x+a|≥3，则a的取值范围是____；

(5) 若|2x+1|+|ax-6|的最小值为4，则a的值为____.

【题目解析】

(1) 当2x+4=0，即x=-2时，

|x+1|+|2x+4|取得最小值1；

(2) 当3x-6=0，即x=2时，

|2x+1|+|3x-6|取得最小值5；

The  End, Byebye!