|
本题考查瓜豆模型，以及与圆有关的最值问题，难度较大，通过动态演示可以较为清晰的展示结论。 【题目】 （2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=1/2OM； （2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（1/2＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
【分析】 （1）①根据新定义，得到点P′的坐标为（﹣1,1），作关于点N的的对称点Q即可。
②证明NT为OM的1/2那么说明T为MN的中点。 因为T是连接PQ产生的，说明与PQ有关系，Q是点P′关于N的对称点，那么可以得到N为P′Q的中点，通过连接PP′，可以发现PP′与ON是平行的，那么结论就出来了。
当然，还可以考虑延长MN，如下图所示。
如图，构造一个“X字型”的相似，得到T为OA的中点，进而得到NT为1/2的MN。 （2）要求PQ的最大值与最小值的差，并没有那么容易，关键是需要画图确定点P与Q的关系，这样才好判断。
如图，先画出半径为1的⊙O，在圆上任取一点M，连接OM，点N为OM上一点，但ON＝t（1/2＜t＜1），那么可以得到点N的话只能是在上面的环形内运动，且不能在两个圆上。
根据题目的新定义，可以得到PP′与OM平行且相等，那相当于构造一个平行四边形，当点P确定的时候P′的位置也确定，点P动，则P′也动。四边形OPP′M始终为平行四边形。
如图，确定点P′的对称点Q，连接P′Q与PQ，假设PQ与OM交于点T。 由于有了（1）②的结论与提示，可以发现N为P′Q的中点，那么可以得到T为PQ的中点，也就是PQ平行且等于PP′的一半，因为PP′=OM，所以可以得到NT=1/2，因为OM=1，ON=t，那么就可以得到： MN=1-t， OT=1/2-MN=1/2-1+t=t-1/2。 假设P为固定的一个点，那么点T的轨迹为一个圆，圆心也为O，半径为OT，即t-1/2。要求PQ的最值，其实就是求PT最值的两倍。因为PQ=2PT，那么我们只需要求出PT的最大值与最小值即可。
当点M运动时，可以发现点T的运动轨迹为圆，那么PT与PO共线时分别取到最大值和最小值。最大值为PO+r=PO+OT，最小值为PO-r=PO-OT，那么最大值与最小值的差为2OT=2t-1。 所以PQ的的最大值与最小值之差为2OT的两倍，即4t-2。
上面是动图的演示，可以发现本题的最值之差只与t的值有关。也就是说点N的位置会影响OT的长，进而影响最值之差，与点P的位置无关。 【总结】 本题其实考查的是瓜豆模型，以及与圆有关的最值问题，有一定的难度，特别是题目没有给出图形，不容易发现结论。 如下面的动图，T在OM上，OT与OM的比值的固定的，那么点T的轨迹与点M的轨迹是相似的。 一样的道理，点T在PQ上，PT与PQ的比值是一样的，当点T运动的时候，点Q也会发生运动，轨迹也是相似的。
而点Q的圆心在直线PO上，如下图所示。
更多精彩内容，请查看《中考数学压轴题全解析·解答题》。 5.4瓜豆模型在《中考数学压轴题全解析·解答题》的P128。 9.7与圆有关的最值问题在P263页，分为点与圆有关的最值和线与圆有关的最值问题。具体请看书中内容。
|
|
|
