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中 考 2021 备考 难度系数   ★★★★☆  试题内容 在矩形ABCD中,AB=2,AD=2(√3),M、N分别为AB、CD的中点,点P为线段MN上一动点,以线段BP为边,在BP左侧作等边三角形BPQ,连接QM,则QM的最小值为 .
解法分析
转化部分： 连接BD交MN于点F，连接AF、AQ， ∵AB=2，AD=2(√3)， ∴∠ABF=60°， ∵FA=FB， ∴△BFA是等边三角形， ∵△BPQ是等边三角形， 易证△ABQ≅△FBP， 取BF的中点E，连接PE， ∴PE=QM， ∴求“QM的最小值”可转化为求“PE的最小值”， 计算部分： 当PE⊥MN时，PE取得最小值， 易证PE是△MBF的中位线， ∴PE=(1/2)MB=(1/2)， ∴QM的最小值为(1/2). 动态演示：
瓜豆原理 ∵两动点(P、Q)到定点(B)的距离比是定值(1)，夹角是定角(60°)， ∴两动点的运动路径相同， 即：点Q的运动路径为直线型， ∴选取两个特殊位置的Q点，可找到点Q运动路径所在的直线.   作图部分： 当点P与点M重合时，依题意作等边三角形BPQ，得到点Q1， 连接BD交MN于点P，连接AP， ∵AB=2，AD=2(√3)， ∴∠ABP=60°， ∵AP=BP， ∴△ABP是等边三角形， ∴点Q2与点A重合， ∴点Q在射线Q1A【射线的一部分】上移动，
计算部分： 作ME⊥Q1A于点E，则ME为QM的最小值. 易证∠Q1MA=120°，MA=MQ1=1， ∴∠EAM=30°， ∴ME=(1/2)MA=(1/2)， ∴QM的最小值为(1/2). 2020山东中考试题 如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为 .
解法分析 转化部分： 作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C， 易证：OM是△A'AC的中位线， ∴OM=(1/2)A'C， ∴当A'C取得最大值时，OM取得最大值， 计算部分： ∵点C为坐标平面内一点，BC=1， ∴点C在以点B为圆心，1为半径的圆上运动， 当线段A'C经过点B时，A'C取得最大值， 在Rt△A'OB中，OA'=2，OB=2， ∴A'B=2(√2)， ∴A'C=A'B+BC=2(√2)+1， ∴OM=(√2)+(1/2)， 即：OM的最大值为(√2)+(1/2). 瓜豆原理： ∵两动点(C、M)到定点(A)的距离比是定值(2)，夹角是定角(0°)， ∴两动点的运动路径相同， 即：点M的运动路径为圆.
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