 举一反三减负担  文/范明甫 教学反思 在教学中，会遇到一些相似的题目，但是如果不掌握根本，每次做题都是新题，只刷量而没有质的飞跃，要想有质的提升，就要把题目研究透，这样以不变应万变，就能跳出题海.但是前提是老师要先跳进题海，把一些共性的东西给提炼出来，引导学生学会学懂，才能真正的减轻学生的负担. 题目：1.如图①，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 . 变式：如图②，正方形ABCD的面积为2，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为 .
对于这两个题目，第一题学生迅速的想到了将军饮马的模型如图③，而解决最短问题，作对称点就可以了. 而正方形是轴对称图形，对角线所在的直线就是其中一条对称轴，所以可以轻松的找到其中一个点的称点，从而连接对称点与E点，确定P点的位置，再作垂线构造直角三角形运用勾股定理即可求解如图④.
提问1:既然有最小值,那么,能不能求出最大值?是多少?当取最大值时,P点在何处? 经过讨论发现,要使PE+PF最大,要么P点在A点,要么P点在C点,可以用勾股定理计算求出,发现,当P与点C重合时,PF+PE的值最大是3+2√5.如图⑤所示.这里可以用几何画板进行演示，看两条线段之和从A点到C点的变化情况.
再来看变式，我们发现与第1题的区别在于E、F两点也变成了动点，三个动点，如何确定最小值？ 经过讨论，我们可以先假定E、F其中固定，如E点固定，再根据基本模型，作F点关于直线AC的对称点，连接PF’，发现当E、P、F三点共线且与正方形的边平行时最短，也就是两平行线间的距离，即正方形的边长.如图⑥所示. 此时也有学生发现，可以用特殊位置的方法来求最小值，那就是当E、P点在A处，F点在B处，可得最小值.这也不失为一种可行的方法，因为这是填空题，不要求写过程，只要求出最值即可。 这时我简单的进行了总结，特殊位置的方法可以使用，有时会有很好的效果.归纳为：“特值法”往往用在代数计算中，“特置（位置）法”往往用在几何图形中，两种方法都是有效解决填空选择题的有效手段，希望能掌握住. 提问2：此题有没有最大值，如果有，三者的位置如何？尝试解决. 最后经过讨论，发现当P点离E、F都比较远时，PE+PF值最大，最大是2+√2，如图⑦所示. 至此，这个题目算是讨论完毕，学生在此题的学习过程中，不仅更好的掌握了将军饮马的基本模型，有了模型思想的渗透，同时，对于题目的变式有了更好的理解，他们再看到这类题目，相信有自己的方法，是一个通用的方法，而不是每次看到的题目都是新题.通性通法，可以让学生触类旁通，举一反三. 明甫其实 |
|
|
