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理工科的朋友埋怨了，发了太多人文书，啥时候搞个理工类的。于是开始发理工类的。 物理学诺奖得主理查德·费曼说：学习微积分吧，这是上帝的语言。 说到数学，不禁就想起康德的《纯粹理性批判》为我们揭示的那三个世界——先验的世界、感性的世界和物自体的世界，所谓人类的知性世界，就是先验逻辑与感性两个世界的交互（敝号将于近期推出康德三大批判系列，看起来会非常痛苦，但是能给各位省时间和精力了解最可怕的哲学）。奇妙的地方就在于，数学是一个先验世界的语言，却常常能揭示出感性世界里我们感知不到的因果关系和规律性。 康德把这个过程抽象为，人类的知性从感性世界抽取材料，运用理智的原则进行分析加工，推导出的结论又回到感性世界，运用到感性对象上加以验证。这就是典型的科学过程。 这个本子专业性较强，不是大众型科普，看到中间，我还不得不把普林斯顿微积分教材拿出来复习了一遍极限、级数、导数，才能看得下去。 作者用电磁学作为示例：首先是法拉第、安培等人从日常生活中发现电磁效应，然后通过实验的方式，归纳总结出电磁规律。到此时，尚未脱离出感性的经验世界。19世纪60年代中期，苏格兰的麦克斯韦认为电磁定律比较散乱，尝试着用微积分工具对其进行整理——得到了一个毫无意义的方程，此时，电磁定律脱离了感性世界，进入到了先验逻辑领域——纯理智领域。 麦克斯韦感觉这个方程有问题，于是按照纯微积分逻辑，加入了一个新项，再次进行逻辑变换运算，得到了一个简洁优美的波动方程——这个方程与描述水面涟漪扩散的方程很像，于是，麦克斯韦开始设想，这是一种电场和磁场相互作用产生的波，变化的电场产生变化的磁场，相互推进。他开始计算这种想象中的波的速度——惊讶地发现，这个速度就是光速！ 这是科学史上最令人惊喜的发现之一，麦克斯韦大胆的预言，光就是一种电磁波！ 到此时，这还只是先验逻辑领域的推导。十年后，海因里希·赫兹做了一个实验，发现电磁波确实存在！这也是首次在经验世界发现了纯粹猜想事物的存在，又过了十年，特斯拉建造了无线电通信系统，再过五年，马可尼发送了第一封越洋无线电报。——先验逻辑领域的推导，在感性世界中找到了印证，并开启了一个全新领域和全新的时代。 微积分就是这样一个奇妙的先验逻辑领域的工具，从感性世界抽象出来一些规律，输入到这个工具中，进行一些不知道为什么会是那样的逻辑运算，会得出一些新的真理，然后帮助我们重新发现感性世界中事先看不到的东西。 何以宇宙居然会是以这种逻辑在运行，又何以渺小的人类居然可以发现这种逻辑？这就是爱因斯坦所说的，宇宙最不可理解的地方在于，它居然是可以被人理解的。 1.无穷是个工具。 无穷细分和无穷积累，就是微分和积分基本方法。数学上比较恼人的两件事，其一是曲线和曲面（典型如圆形），其二就是运动的变化（如斜坡上加速滚下的球）。为了解决这两类问题，古代的天才们发明了无穷积累——积分，把一段曲线细分成无穷个直线段，然后把直线段积累起来还原为曲线；对变化的运动就是切分时间，无穷小地切分时间，在每个时间段里，运动都化简为匀速直线运动。 当然，两者都有一个共同的假设——时间和空间是连续的、平滑的，可以无限细分。
时间和空间的连续性，在经典力学、广义相对论中都能得到很好的应用，确乎是个不错的假设。但就像我们不断放大一段曲线的图片一样，总会放大细分到曲线不再平滑的程度。在宇宙的极小尺度上，空间和时间也一样不再连续和平滑，而可能会变成无序的混沌状态，像煮开的水面一样泡沫随机翻腾。 这个极小的尺度也是有衡量方法的——是我们所知的宇宙三大常量：一是万有引力常量G，即在万有引力公式中的那个常量，二是约化普朗克常量h，出现在海森堡不确定性和薛定谔的波动力学方程中，三是光速c。普朗克把这三个量合并为一个公式（hG/c3）^(-2)，计算出来的量就是所谓普朗克长度，约为10的负35次方米，相当于质子直径的10的22次方分之一！ 光经过这个长度所需要的时间是10的负43次方秒。大家认为，在这个尺度下，再来看时间和空间，就不再是我们所想到的样子了，时间和空间很可能已经没有意义。 之前说的无穷细分，可能这就是宇宙中细分的极限。 对无穷的驾驭和把握，首先出现在阿基米德对圆周率的分析上，这个神奇人发明了夹逼法则来无限逼近圆周率这个量值（在阿基米德那个时代，还无法理解这样一个数的存在，只能说它是周长对直径的比值）。他测算这个比值不会小于3+10/71，也不会大于3+10/70。 也就是说，早在2000年前，无穷就以圆周率的形式出现在了人类的理智世界中——它既代表了圆这样一个美丽圆满的秩序，又代表了一个不可穷尽的数字——谁也不知道它究竟会在哪里结束，也不知道它会达到怎样的极限。阿基米德去世后四百多年，公元250年，中国的刘徽发明了改进版的算法，祖冲之把这个方法应用到了一个24576边形上，把圆周率夹逼到了8位数以内！ 夹逼法则的意思就是既不会大于那个数，也不会小那某个数，最终其实就等于那个数。——这是阿基米德创造给我们的一种驾驭无穷的洞见。这一点突出地表现在他对抛物线弓形面积的求解上，他采用的仍然是把弓形面积不断切分三角形的方式求解，由是得到了弓形面积的无穷级数——S面积=1+1/4+1/16+1/64+…，他证明这个数列既不大于4/3，也不小于4/3，其实就说明S面积=4/3。 而且他还把这个问题等同于3个人用四分法切分蛋糕，即每次都按四等分切分蛋糕，三个人都吃掉一部分，剩下的四分之一，再切分成四份，一直持续分下去。那么一个人吃到的蛋糕也是这么一个数列1+1/4+1/16+1/64+…，其实不也就是每个人都吃到了蛋糕的4/3嘛。 最惊人的论证方法，是阿基米德通过几个简单的辅助线操作，做了一个弓形面积的外接三角形，把求解弓形面积变成了一个基于杠杆原理的重量平衡法则，他把弓形面积全部细分为直线段，一段段地挂到支点的另一边去，直至支点达到平衡，这样弓形面积切分出来的线段整体质量，是外接三角形质量的三分之一，外接三角形又是弓形内接三角形的四倍，则弓形面积就是其内接三角形面积的4/3。 这个论证其实挺复杂的，想看过程应该看原著。阿基米德的创新在于，他居然把面积比例转变成了重量比例，把面积切分成了无数线段，想象出杠杆和重心，抽取出线段，精心地实现面积和重量的平衡。这其实就是微积分方法的基本构想。阿基米德用同样的思路，解决了球体体积、面积、抛物线等一系列问题。 这个方法据说达芬奇、笛卡尔、牛顿都不知道，因为记载上述方法的阿基米德的信件早已被焚毁在亚历山大图书馆里。直到1899年，它在君士坦丁堡的一个东正教教堂收藏的手抄本里被发现。 2.开始运动了。
阿基米德之后1800多年，人类在数学描述自然上没有实质性的突破了。一直到伽利略和开普勒的出现，他们终于敢用数学来描述一个普通的自然现象——变速运动。 伽利略开创了一个新的思路——不去探究事物的原因和结果，而是观察过程和形式——这恰恰与一千多年来的本体论思路相违。我们都倾向于去知道事情的原因和结果，认为过程与发生的形式不过是细枝末节，可是科学理性就产生于这些细枝末节中。 我为什么要知道一个重物下落的原因和结果呢？伽利略认为，怎么下落的，以及下落的轨迹才是重要的事情。因为下落速度很快，挺难观察，于是伽利略想到了简化的方法——用斜坡替代垂直下落，这样可以让下落速度变慢一些——科学的几个要素在这里出现，孤立的实验，简化影响因素。 亚里士多德也曾观察和考虑过这个问题，不过他的目标并没有伽利略这么明确，以至于他把过多的“噪声”如摩擦力、空气、表面积都考虑在内，而对真正的“信号”即重力、惯性关注力不够集中，所以他得出的就是日常的粗糙结论。 伽利略非常精细地对他的斜坡、轨道、小球材质进行选择和打磨——因为他要尽可能地把“噪声”去除掉，他所做的这些麻烦工作，就是为了让观察变得简单而纯粹——这就是科学实验的基本原则。对摩擦力的忽略极其重要，因为事实上直到今天，我们也没有完全搞清楚摩擦力到底是怎么回事。 |
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