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建立一个数学模型，它面临的实际问题是多种多样的．建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得到的模型也不同。不能期望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓的基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。  THE BEAUTY OF/// BUILDINGS  1 数学建模的基本方法 一般来说，建模方法大体上可以分为机理分析和测试分析。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析将研究对象看做一个“黑箱”系统（内部机理尚不清楚），通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出数据拟合得最好的模型。 面对一个实际问题用哪种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解和建模的目的。对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来进行建模，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数。 2 数学建模的基本步骤 建模要经过哪些步骤，并没有一定的模式，通常与问题性质、建模目的等有关。下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程。 （1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据等，尽量弄清楚对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。对实体信息的全面了解，有助于抓住事物的本质，万有引力定律之所以成功，很重要的一点是它的基础工作。第谷布拉赫积累了20年行星运动的数据，为开普勒推导行星三定律奠定了基础，牛顿才有可能发现万有引力定律。因此，建立一个合理的数学模型，详细入微的调研工作是必不可少的。 （2）模型假设：要用一个抽象的数学结构描述一个复杂的实际问题，必须对问题进行简化。影响问题的因素很多，所以根据问题的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的合理的假设。对于建模的成败这是非常重要的和困难的一步。不同的假设会得到不同的数学模型，人口模型就是典型的例子。自Malthus的第一个人口模型问世至今，已有一百多个人口模型相继产生。建模者依据不同的假设，建立不同的模型，从不同的角度论述人口问题，这也表明恰当的假设和建模的目的密切相关。另外，假设做得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设做得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间做出恰当的折中。通常，做假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的综合想象力、观察力、判断力，以及经验，在模型假设都起着非常重要的作用。 （3）模型构成：根据所作的假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，建立包含变量、常量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型等。这里除了需要相关学科的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学知识。要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其他对象的共性，借用已有的模型。 （4）模型求解：可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。 （5）模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析等。 （6）模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．这一步对于模型是否真的有用非常关键，要以严肃认真的态度对待，有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．例如，牛顿创立的万有引力定律就经受了对哈雷彗星的研究、海王星的发现等大量事实的考验，最终被公认为是一个成功的数学模型。  文字 / 团子 配图 / 余弟 排版 / 余弟 |
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