本题内容选自2022年重庆中考数学(A卷)的压轴题,以等边三角形为背景,考查线段的数量关系与解三角形,难度较大。但如果最后一问用高中的数学公式,可以快速求解。 具体请看下面的分析。 【题目】 如图,在锐角中,,点,分别是边,上一动点,连接交直线于点. (1)如图1,若,且,,求的度数; (2)如图2,若,且,在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段,连接,点是的中点,连接.在点,运动过程中,猜想线段,,之间存在的数量关系,并证明你的猜想; (3)若,且,将沿直线翻折至所在平面内得到,点是的中点,点是线段上一点,将沿直线翻折至所在平面内得到,连接.在点,运动过程中,当线段取得最小值,且时,请直接写出的值. 【分析】 (1)求∠CFE的度数,那么就需要找相关的条件。 ∠BCD和∠CBE相等,可以得到△BCF为等腰三角形,那么只需要求出这三角形的任意一个内角就可以了。 已知∠A=60°,但是似乎用不上。 题目还给出BD=CE,而且BC为一组公共边,可以发现△BCD与△BCE这两个三角形两边相等且一个对角相等,也就是SSA,但是不全等。所以可以考虑构造三角形全等。 如上图,延长CD至点G,使得CG=BE,那么就可以根据SAS得到△BCG≌△CBE(SAS)。 根据全等可以得到∠CEB=∠G,再根据BD=CE=BG,得到∠G=∠BDG=∠ADC,那么就可以得到∠ADC=∠CEB了,再根据四边形的内角和,可以得到∠CFE=∠A=60°。 当然,通过截取的方式构造全等也是可以的。 还可以作垂线,如下图所示,方法都是类似的。 (2)题目要探究的是BF、CF和CN之间的数量关系,根据直觉,很容易猜想需要把BF与CF加起来,然后再与CN进行比较。 已知AB=AC且∠A=60°,那么就可以得到△ABC为等边三角形。 题目的条件是BD=AE,可以继续从这个条件先入手。 根据条件可以得到△BCE≌△CAD(SAS),那么进而可以得到 ∠CFE=∠CBE+∠BCF=∠ACD+∠BCF=∠ACB=60°。 那么就可以得到∠BFC=120°,那么就可以确定点F是在一条圆弧上运动。 以BC为边,在下方构造等边三角形,可以得到四点共圆。 此时,可以发现A′F=BF+CF。而△A′FM中,CN是中位线,所以可以得到CN为1/2A′F,进而就可以得到结论为 2CN=BC+CF。 要证明A′F=BF+CF,还是需要用截长补短等方式进行证明。这个是比较常见的一个模型。 当然,本题的作法比较多样。 如上图,延长CF至S,使得FS=FB,可以得到△BFS为等边三角形(绿色三角形)。 倍长CN至点T,连接TF与TS。那么就可以得到△CNM≌△TNF(SAS)(黄色的两个三角形)。 那么就可以得到TF=CM=AC=BC,SB=SF。 ∠SFT=∠SCM=∠ACM+∠ACD=60°+∠ACD =∠SBF+∠CBE =∠SBC。 那么就可以得到△SBC≌△SFT(SAS)。 那么就可以得到ST=SC,∠CST=∠CSB=60°,那么就可以得到△CST为等边三角形了。 进而可以得到BF+CF=SC=CT=2CN,结论得证。 (3)题(2)中 的条件没有变化,所以点F的运动轨迹也是不变的。可以先画出草图,然后进行分析。 可以发现,当点P、F、O三点共线时PF最小,此时∠QKP=90°,那么就可以得到△PQK为等腰直角三角形。∠QPK=45°。 设OB=2,可以得到BC=PB=AP=2√3。 ∠PBO=∠PBC+∠OBC=150°,那么过点C作PB的垂线,可以得到边长的大小,进而得到∠BPO的正弦与余弦值。 如图,根据勾股定理可以得到PD=2√7。 那么就可以得到sin∠OPB=OR/OP=√7/14。 cos∠OPB=PR/OP=3√21/14。 题目要求的是PQ/BC的值,在△PQA中,∠PQA=90°。 所以可以得到PQ/BC=PQ/AB=cos∠QPA=cos(15°﹣∠OPB)。 那么我们就可以用高中余弦的差角公式得到结论。 ,。 当然,并不是只有这样一种方法。 如上图所示,连接OA,那么依然设BC=AP=2√3,得到OA=4,OP=2√7。 过点H作HM⊥OP,垂足为M。 根据△PHM∽△POA,可以得到 PM=3√7/7,HM=2√21/7。 因为△PKQ为等腰直角三角形,所以可以得到∠PKH=∠QKH=45°, 那么就可以得到△AMK也为等腰直角三角形, 那么就可以得到PK+PM+MK=PM+HM=(3√7+2√21)/7, 进而可以得到PQ=√2PK=(3√14+2√42)/7, 所以可以得到PQ/BC=PQ/PA=(√42+2√14)/14。 相对于构造复杂的辅助线而言,高中的方法还是更直接一些。 【总结】 本题考查的内容比较多涉及角度的转化,线段数量关系的求解,以及解三角形等。特别是最后一问,求线段的比值,比较难求得所需的线段长。如果借用了高中的数学公式,那么就可以快速求解,也可以说这一问的导向不够好。 下面是三角函数有关的和差角公式: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) |
|