【原】如果老黄告诉你，离散数列也可以有极限，你敢相信吗？

曹操说：“不可能，那绝对不可能”！

离散数列当然没有极限了。但是和函数结合之后，它就有可能有极限了。

没错！老黄写这样的标题，就是个噱头。不喜请随便喷！

这道题只涉及到几个式子，而且都是超级乱的那种，老黄只能尽可能解释得详细一些，尽量让爱学习的小伙伴能够看懂了。

设a1,a2,…,an为n个正实数，且f(x)=((a1^x+a2^x+…+an^x)/n)^(1/x). 证明：

(1)lim(x→0)f(x)=(a1∙a2∙…∙an )^(1/n)；(2)lim(x→∞)f(x)=max{a1,a2,…,an}.

分析：题目中涉及到一个离散数列{an}(当然，它也可能不是离散数列，结果不影响)。记所有项的x次方的平均数的x分之一次方为函数f(x)。第一个极限指的是，当x趋于0时，函数的极限是这个数列所有项的几何平均数。第二个极限指的是，当x趋于无穷时，函数的极限是这个数列中各项的最大值。这两个极限有它们共通之处，但它们的求法却又有不同。

(1)第一个极限，其实是自然常数e类型的极限，或者说，它是1的无穷次方型的未定式极限。最简单粗暴的方法，就是把它构造成如下的e类型极限的形式。

这是底数等于“1加上一个以0为极限的式子”，指数是这个式子的倒数的形式。这个形式的导数就等于自然常数e，而为了构造这个形式的极限，一般会产生另外一个伴随极限，即下面这个极限。

它是一个“0比0型”的未定式极限，可以运用洛必达法则，分子分母同时求导。分母的导数等于常数n。虽然n可以无穷大，即这个数列可以有无穷多项，但对于这个极限来说，它再大，也是一个具体值，而不是作为变量的无穷大。分子的极限是一系列指数函数的导数和，以及-n的导数等于0.而指数函数的导数，等于它本身与底数的自然对数的积。现在这个极限已经可求了。把x=0代进去，得到的结果，分子可以运用对数和等于积的对数公式。再把n分之一移到自然对数内，做真数的指数。就求得了伴随极限的值。

将这个结果代回原极限，就得到原极限等于原数列各项的几何平均数。

(2)继续看第二个极限。求x趋于无穷的极限又该怎么求呢？还能用上面的方法吗？这已经不是一个e类型的极限了，所以不能再简单粗暴地构造e极限了。那该怎么办呢？

这里要采用的是自然对数法求极限，即取极限的e的ln次方。这些方法老黄在以前的作品中，都有过详细介绍，关键是把真数的指数x分之一前提做自然对数的系数。为了下面描述的方便，老黄还把数列的最大项记为M.

现在就只需要求e的指数极限，它是一个“无穷大比无穷大型”的未定式极限。同样运用洛必达法则，分子分母同时求导。分母的导数等于1，分子一个复合函数的导数，外函数自然对数的函数等于u分之一，u是中间变量。内函数的导数是一系列指数函数的导数和，这在第一小题中已经介绍过了。

关键它还有一个系数n分之一，正好和分母中的n分之一约分。

然后就是最关键的一步了。分子分母同时除以M的x次方。除了数列的最大项，其它项都比M小，所以每项都形成一个小于1的正数的无穷次方，结果都等于0，只有最大项等于M，结果等于1。因此，结果只剩下M的自然对数了。

将这个结果代回原极限，就可以求得原极限等于M。即原极限等于数列的最大项，得证！

两个极限的求法虽然不同，但它们之间，其实是有许多共通之处的，你发现了吗？