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本题选自2022年广州中考数学填空压轴题，考查动点产生的几何最值问题，是之前讨论比较多的瓜豆模型。虽然是小题，但是值得练练手。 【题目】 （2022·广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ° ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ° ．
【分析】 （1）第一问比较直接，当点P′落在BC上时，可以得到∠PP′C=120°。
（2）第二问有一定难度，因为需要确定点P′的轨迹，然后再得到CP′ 的最小值，求出此时∠PP′C的度数。
从题目的条件可以得到△BPP′始终为等边三角形，而点P在边AD上运动，那么△BPP′的大小一直在变，但是形状不变。 这其实就是前面介绍过的非常常见的一种类型，就是大家常说的瓜豆模型。
通过上方的动图，很明显观察到点P′的轨迹是线段，那么就可以得到当CP′与点P′的轨迹垂直时最小，因为垂线段最短。此时只需要画出图形，求出角度即可。 那为什么轨迹是线段呢，如何说明？
如图，当点P与A重合时，点P′落在点O处，也就是起始位置。以AB为边在右侧构造等边三角形ABO，那么可以得到一组手拉手等边三角形，此时根据SAS可以得到△ABP≌△OBP′（SAS），可以发现∠BOP′=∠BAP=90°。 而BO固定不变，那么OP′始终与BO垂直，点P′的轨迹就是BO的垂线段。
如下图所示，此时可以得到BO与CP′平行，那么可以得到∠BCP′=∠CBO=30°，那么就可以得到OP′=1/2BC=AB=BO，此时可以得到△BOP′ 为等腰直角三角形。
所以此时∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P ＝∠BP′O+∠OP′C-∠BP′P ＝45°＋90°﹣60° ＝75°。 当然，其实还可以有其他的突破口。 我们知道，遇到等长共点的图形的时候，常常考虑旋转构造辅助线。
如图，将△BCP′逆时针旋转60°至△BC′P，那么就可以得到CP′=C′P，而点C′的位置是确定的，点P在AD上运动，当C′P⊥AD时C′P最小，即此时CP′最小。
由于△BCC′为等边三角形，可以得到此时点P为AD的中点，得到△ABP为等腰直角三角形，那么就可以得到∠BP′C=∠BPC′=45°+90°=135°，那么此时 ∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-60°=75°。 【总结】 遇到等腰、等边等“等长共点”的图形时常考虑旋转进行构造辅助线。遇到几何最值问题，常需要确定动点的轨迹，再根据“两点之间，线段最短”或者“垂线段最短”进行判断。 |
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