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本题选自2022年广西河池中考数学压轴题，以抛物线为背景，将抛物线进行中心对称变换，求面积和最小与等腰三角形的存在性问题。属于常考题。 【题目】 （2022·河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax²+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； （2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； （3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】 （1）求抛物线的解析式，直接把点B与C的坐标代入即可。 得到抛物线的解析式为y＝-x²+2x+3，用顶点坐标公式或者配方法，得到点D的坐标为（1，4）。 （2）求△BFE与△DEC的面积之和最小，由于四边形BOCD的面积不变，根据割补法，只需求四边形OCEF的面积最大值即可。
先求出直线BD的解析式，然后设点E的坐标表示出四边形的面积。 点B（3，0），D（1，4），则直线BD的解析式为y=-2x+6， 设点E的坐标为（x，-2x+6）， 那么可以得到EF=-2x+6，OF=x， 则四边形OCEF的面积为 S=1/2(OC+EF)·OF=1/2x(9-2x)， 当x=9/4时，S最大，此时m=3/2，△BFE与△DEC的面积之和最小。 （3）如图，先画出对应的图形，再进行求解。
本题主要考虑用代数法进行求解。 点B（3，0），M（6，-3）。 设点P（6，y）， 那么分别可以表示出 BP²=9+y²，MP=（y+3）²，BM²=18， 那么两两相等，即可得到点P的坐标。 满足条件的点P的坐标为（5，√14），（5，-√14），（5，﹣1），（5，﹣3+√17），（5，﹣3-√17）．
点的位置，根据两圆一线，可以得到。 【总结】 面积最值问题，一般设点坐标用割补法求解。等腰三角形的存在性问题，一般用代数法列方程比较简便。 更多精彩请看《中考数学压轴题全解析》！
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