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大道三千，你可悟多少？   2022年9月9日的今天，中小学已经开学一周，在这期间很多初中名校都陆陆续续地组织开展了新学期的开学测。也正是这几天，笔者结束了几天的回乡之旅，赶回广州，第一时间开始了刷卷工作。 众所周知，开学测都是各校自主命题，而初三年级的开学测更是能从一定程度上了解不同学校的出题风格，以及该校对于学生中考数学的拔高深度和培养态度等。 （求情提示：想直接切入解法的，直接往下拉！） 笔者先后刷了广大附中、第十七中学的卷子，一卷到底感觉还比较顺，基本上80分钟以内就能全搞定。但是刷到第二中学的初三开学测数学卷时，略感压力和不适。从23题开始就感觉题目有点不太“正常”了，感觉试题风格实属有点为难刚进入初三的学生。尤其是最后的第25题，从第二问开始，笔者卡了30分钟依旧没有明确思路，笔者刷卷多年，已经很久没有过出现120分钟做不完一套初三卷的情况，昨天被这张二中开学测的初三卷整蒙了。后来跟一些老师交流讨论，得知：此题考察的是《拿破仑三角形》。此理论相对冷门，接触的人较少，不过就算不知道这个专题也没关系，可以用我们熟悉的半角模型的思想去旋转处理。鄙人愚钝，反正笔者刷卷当时竟然是没往这方面想。 我相信绝大多数老师都没听说过这个《拿破仑三角形》，笔者刷题多年也是没有听说过，教材上更是完全没有它的踪迹。那么既然碰到了，我们今天就彻底摸透它。 本文重点揭秘——《拿破仑三角形》。 话不多说，切入正题！  什么是拿破仑定理？ 拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不需为等边三角形）作三角形，结论同样成立。 即： 如图，已知任意三角形ABC，分别以AB、BC、AC向外作正△ABD、正△BCE、正△ACF，而点G、I、H分别为三个正三角形的外心，连接GI、GH、HI，则△GHI为正三角形。
初中领域三种常见考法： 1.如上图，求证：正△ABD、正△BCE、正△ACF的外接圆相交于同一点。 2.如上图，求证：△GHI为正三角形。 3.如上图，已知三角形ABC的某一个内角为特殊度数和一条边长，求△GHI的面积最值。（第三种解决问题的方法实际是高中知识，本文不予研究） 第一种考法，用四点共圆轻松化解；
而今天我们的研究重点，是第二种考法。下面以这次2022年广州市二中应元的初三开学测第25题压轴题为例展开探讨：
 原题奉上 
【解析】：定睛一看，这题不就是赤裸裸的一个《拿破仑三角形》的结构吗？无非就是把以BC、CA、AB为边的正三角撤掉，直接造三个120°顶角的三个等腰，细致观察你会发现，而这三个等腰三角形的顶点E、F、D刚好就分别对应之前三个正△的外心罢了。 第一问：解答省略。 第二问：重点研究；揭秘9种解法； 第三问：放在最后。 
解法如下
本处，再额外补充25题第三问的解答，凑成10全10美！
（上述答案仅供参考，谢谢！）
【文档编辑匆忙，如有错误之处，敬请批评指出。】 |
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