一道经典的题目,其解法也一定是经典的,或者说是有典型性的,并且一定是一题多解的。 下面我们就一起来看一下这道重庆市竞赛题: 【题目】 【如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.求证:CD=BD.(重庆市竞赛题)】 【分析】 这里的30°角给我们以启示,令我们容易想到含30°角的直角三角形、等边三角形等特殊知识; 由AC=BC=AD,使我们容易想到,通过做辅助线让AC、AD与BC产生联系,才能充分利用这些条件; 我们从以下几个方面考虑解这道题: 构造等边三角形; 轴对称(翻折); 其他思路,角平分线等。 【类一】构造等边三角形 以CD为边向两边构造等边三角形; 【分析】 E1--E8:证三角形全等即可得到,以下同思路的,就不再赘述。具体证明过程也比较简单,这里不再列出. E2:这里证△ACE2≌△ADB应该是所有证全等里面难度最大的,需要计算AE2=AB. 以BC为边向两边构造等边三角形; 以AD、AC为边向两边构造等边三角形; 【分析】 E5,E7的证法类似,如E5,证△ABD≌△ECD,具体证明略。 以AD、AC为边向另一边做等边三角形是否成立呢?当然成立,只是它们更特殊,我们把它单独归为一类,那就是接下来的第二类. 【类二】轴对称(翻折) 由这里的∠CAD=30°,自然使我们联想到30°的2倍就是60°,所以我们自然而然的想到翻折,这里我们可分别以AD,AC为轴把△ACD进行翻折,得到等边三角形。当然这与前面直接构造等边三角形得到的图形是一致的,证明的本质也是相同的。只是轴对称(翻折)也是我们解决几何问题常用的一种思维方式,所以我们进行单列。 以AC为轴把△ACD进行翻折; 以AD为轴把△ACD进行翻折; 【分析】 E6,E8:这里仍然是证两次三角形全等即可得到,具体证明过程也比较简单,不再多说. 【类三】其他思路 角平分线性质定理; 【分析】 E9:易证△CDE≌△CDF,得CE=CF,又由30°角直角三角形,易得CE=1/2AC,得CF=BF,再由三线合一即可求得结论。 作垂线,构造以AD,CB为斜边的全等直角三角形; 【分析】 E10:证两次三角形全等易得。 【归纳总结】 1.由于题目是证明线段相等,我们容易想到等角对等边,事实上,有几种方法是可以得到15°=15°的。 2.通过这道题,我们对此类题目的解法将有一个更深的认识。此题的解法应不止于此10种,欢迎大家补充。 不足之处,请君指正。 |
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