第十七讲 函数最值问题典例分享

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例1：设 a 、b 为正整数，且满足 ab - a + 3b = 63 ，那么 a + 2b 的最小值是________.

解析：依题目条件得（a+3）（b-1）=60，

即（a+3）（2b-2）=120，

于是（a+2b+1）²=[（a+3）+（2b-2）]²

=[（a+3）-（2b-2）]²+4（a+3）（2b-2）

=[（a+3）-（2b-2）]²+4×120

故当 a+3 ＞0, 2b-2≥0时，

要使（a+3）+（2b-2）取最小值，

必须满足|（a+3）-（2b-2）|取最小值，

而 a+3 ， 2b-2 为正整数，

且（a+3）（2b-2）=120=12×10，

所以当且仅当 a+3=12,2b-2=10或a+3=10,2b-2=12，

即 a=9，b=6 或 a=7，b=7时，

|（a+3）-（2b-2）|取最小值，

则 a + 2b +1=（a+3）+（2b-2）= 22，

即  a + 2b 的最小值为 21.

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例2：已知 a、b、c 都是正整数，且抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴有2个不同的交点 A 和 B ，若 A,B 到原点的距离都小于1，求 a + b + c 的最小值。

解析：设 A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），

则x₁+x₂=＜0，

x_1·x₂=＞0；即 x₁＜0，x₂＜0.

又因为 Δ =b²-4ac＞0，则 ①

且OA=|x₁|＜1，OB=|x₂|＜1；

则 -1＜x₁＜0， -1＜x₂＜0，

所以=x_1·x₂＜1，即 c＜a ②.

因为 a＞0，抛物线开口向上，所以 x=-1时，y=a-b+c＞0，得b＜a+c.

而 b，a+c 均为正整数，所以 a+c ≥b+1，

于是由①得：a+c ＞+1，

移项配方得：＞1，

由②得，＞1，即，

于是，所以 a≥5.

又，所以 b ≥ 5；

取 a=5，b=5，c=1时，y=5x²+5x+1满足题目中的条件，故 a+b+c 的最小值为 5+5+1=11 。