 如何证明“平行”的追问 张奠宙教授曾说，小学数学教材既要根植于儿童的生活直观感知，又要言之有据，形成循序渐进、互相连接的逻辑框架。这样体现着我们数学学科来源于生活，是对现实世界的抽象。在我们数学课堂教学中来说，既要注重数学与生活的密切联系，又要体现数学学科的客观逻辑。 我们的小学数学教材的编写，有些内容的编排和概念内容的叙述逻辑有待加强。 人教版四年级上册“平行四边形与梯形”的单元起始，便是“平行与垂直”的学习内容。课本对平行的定义是：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说着两条直线互相平行，然后是介绍垂直。
我们看一下做一做：出示几组直线，让学生判定哪一组互相平行，哪一组互相垂直？ 以前没思考过，感觉学生凭着直觉就可以分辨出平行和垂直。在《小学数学教材中的大道理》一书中，张奠宙老师指出，像书上这样的描述性定义并不能判定一组直线是互相平行的。 原因如下：直线是无限长的，在现实生活中我们是做不到将两条直线延长不相交来证明其互相平行！ 学生理解平行的难点在何处 现在学生判断两条直线是否平行大致有3种，第一是目测，凭借良好的直观感受，第二是直尺平移，先用直尺与一条直线重合，向另一条直线平移，发现也重合，判断两条直线互相平行。第三种是画出两条平行线间的距离，依据距离相等判断两条直线的发展趋势，从而得到两条直线互相平行的结论。其实第二、三种方法所依据的都是平行线的本质特征，即——平行线间的距离处处相等。学生难在哪里？ 对于平行线间的距离为什么就处处相等，学生的困难点主要是有几个思维跨度无法得到解释和充分地证明。即便是后来的教学中引导学生通过操作发现“与平行线垂直的所有线段的长度都相等”，也需要思考： 1.从a上一点向b画垂线，这条垂线也和a垂直吗？即与两条平行线都互相垂直吗？ 2.对于“选几个点”画垂线所得的几条线段，如果产生误差，其长度不相等怎么办？ 3.从a上选几个点就能断定从a上其他无限多个点向b画垂线所得的线段的长度都彼此相等吗？无限多个点如何一一检验？ 在小学数学教学中固然不必严格证明，但总要符合逻辑才好。张奠宙教授就说：如果一味地将未加证明的“发现”不加怀疑地当做真理，久而久之会养成一种不加论证就断然肯定的思维习惯，会给以后的数学学习带来负面影响。 这样的思维跨度很多时候学生不假思索的就屏蔽了，似乎学生没有问题，我们也就自认为理所当然，但是如果用科学严谨的态度来审视这个问题，是否觉得仅凭几个点的验证就得到平行线间的距离处处相等这个结论未免太草率，其中还要规避学生测量误差所带来的干扰。谨慎的说，学生通过测量验证的结论只能是一个猜想，在小学数学中固然不需要严格的证明，但是如果将未经证明的“发现”视为一个确定的结论，似乎也有不妥。所以用张奠宙教授的话说，我们要用“混而不错”的方法帮助学生理解抽象的概念。 小学里为什么要讲平行线呢？ 除了提升儿童的空间观念，在知识的逻辑上安排就是为了画平行四边形。由于有了判定法则，因此我们就能有理有据的话，具有任意对角的平行四边形。 结合以上，教学中如何改进呢教学呢？ 我们不妨放弃那些不合逻辑的所谓的发现，远离那些不合逻辑的思维方法。直接去处理平行线的判定法则。小学数学里有关平行线的教学内容无非是三个部分： 1.平行线的概念（无限延长不相交） 2.平行线的判定法则。 3.利用判定法则画平行线，研究平行四边形。 这三部分中核心在于如何“混而不错”地给出平行线的判定法则。 借助方向的直观经验 平行线的概念涉及无限延长，直接从概念出发来检验无限的过程是不可能的。因此平行线的判定法则必须用第三条直线，借助检验两个同位角是否相等的有限手段加以解决。然而用同位角相等来判定必须依赖于平行公理。在小学数学里当然不可能用公里的方法。那么我们可以用直觉经验来代替。例如借助学生关于“方向”的生活经验和基础知识，正面提出一个基本事实作为出发点： 两条方向相同的直线不会相交，因而是互相平行的。 特别的，与同一条直线垂直的两条直线互相平行。 这一判定法则建立在人们熟悉的方向概念上，两人同方向走不会相交。明确易懂，可以操作。同时能和以后中学几何里的同位角相等，两直线平行的判定法则相衔接，在逻辑上没有差错。 想“有限”为“无限” 在教材和教学中，教师常常会选择用拖拉机的车轮印，双杠和铁轨等这些生活实物、实景来学习认识平行，像这种用“有限长”的经验材料来说明平行线的“无限”过程，可以当做“平行线段”的模型。 但是我们的教学任务是要走向无限，没有对无限的想象，就不会有平行线的概念。因此我们教师在学习讲解时可以提出： 拖拉机的车轮印要想象为笔直开，不转弯的情形。 双杠要想象为可以无限延长而不相交的。 铁轨要想象为笔直的，不断向前的。 结合2022版的四年级上册教材，我们可以看出,教材在学习平行的第一页有意识的在平行线的两端出现了虚线，以此提示学生想象平行线无限延长的结果。 结合“有限”想象“无限”，“想象”在这里是关键词。 在“有限”的空间里去理解“无限”的概念，“想象”在这里就显得尤为重要，我们可以引导学生从有限的角度出发，用数学的眼光去观察生活中“有限”的现象，想象出“无限”发展的样态，从而发展空间观念，形成超经验。例如如果两条直线之间的距离如果不能保持处处相等，势必会在某一侧逐渐收缩交于一点，这是一种趋势的想象。相比较于方向相同，距离相等更容易检验，虽然表面上要证明距离处处相等，需要检验无穷多个点，但是因为是直线，所以只要验证2个点就够了，这就是距离直觉的优越性所在，诉诸直观，基于直觉，是适合小学生学习的方式。 一个理论，两个直觉 最后用张奠宙教授的话作为总结。 一个理论是指平行线理论，其核心事实在于平行线的原始定义不能作为两条直线是否平行的判定标准。为此需要增加平行公理来说明平行线的性质，由于同位角相等，两直线平行的判定定理与平行公理等价，而且中学里的平行线理论是基于同位角相等的判别准则，因此推理的方法就保持了中小学的一致性 由于在小学阶段不谈平行公理，没有同位角概念，在尚未学习角度测量的情况下，平行线教学的目标只能是基于平行线的直觉，能借助直角进行平行线的判定，并能画平行线。 两个直觉：这两个直觉是指判定两直线是否平行，可以凭借方向一致的直觉，也可以利用距离相等的直觉。方向，距离都是学生与生俱来的直觉，如何基于学生的直觉，用好学生的直觉，值得我们好好思考。从知识层面上分析“方向相同”的直觉与中学里的同位角相等，概念的衔接比较顺畅；使用“距离相等直觉”在画平行线时比较方便。 参考文献： 《小学数学教材中的大道理》——核心概念的理解与呈现 张奠宙等 |
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