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一个全面的数学框架将皱纹模式视为几何问题的优雅解。
作者：Stephen Ornes 2022-9-22 译者：zzllrr小乐 2022-9-25 2018 年在密歇根大学的一次演讲开始几分钟后，伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）拿起一张大纸，把它揉成一个看似无序的混乱球。他把它举起来让观众看，捏了几下，然后又摊开。 “我得到了大量的褶皱，这就是谜团，”他说。“是什么从另一个更有序的模式中选择了这个模式？” 然后，他举起第二张大纸——这张纸预先折叠成著名的平行四边形折纸图案，称为三浦折纸（Miura-origami，日本人三浦公亮在1980年发明，灵感来源是蜻蜓的翅膀和树叶的纹路，译者注，据知乎Tish）——然后将其压平。他说，他在每张纸上使用的力大致相同，但结果却大不相同。三浦折纸被整齐地划分为几何区域；皱巴巴的球是一团锯齿状的线条。 “你会感觉到，”他指着皱巴巴的纸上零散排列的折痕说，“这只是个随机无序版本。” 他指了指整洁有序的三浦折纸。“但我们还没有确定这是否属实。” 建立这种联系需要建立弹性模式的通用数学规则。托巴斯科多年来一直在研究这个问题，研究描述薄弹性材料的方程式——通过试图弹回其原始形状来响应变形的材料。用力戳一个气球，就会形成放射状皱纹的星爆图案；移开你的手指，它们会再次变得平滑。挤压一个皱巴巴的纸球，当你松开它时它会膨胀（尽管它不会完全不皱）。工程师和物理学家已经研究了这些模式在特定情况下是如何出现的，但对数学家来说，这些实际结果提出了一个更基本的问题：一般来说，是否有可能理解是什么选择了这一种模式而不是另一种？ 2021 年 1 月，托巴斯科发表了一篇论文 https://link./article/10.1007/s00205-020-01566-8 ，肯定地回答了这个问题——至少在将光滑、弯曲、有弹性的片材压平的情况下（这种情况为探索这个问题提供了明确的方法）。他的方程式预测看似随机的皱纹如何包含“有序”域，而具有重复的、可识别的模式。他与人合写了一篇论文，上个月发表，https://www./articles/s41567-022-01672-2 （另可参见今日新材料公众号文章：《研究前沿：Nature Physics-超可拉伸的褶皱膜材料》，译者注）展示了一种新的物理理论，它以严谨的数学为基础，可以预测现实场景中的模式。 值得注意的是，托巴斯科的工作表明，皱纹，在许多方面，可以被视为几何问题的解。“这是一篇美妙的数学分析，”德国波恩大学豪斯多夫数学中心的斯特凡·穆勒 ( Stefan Müller ) 说。 它首次优雅地阐述了这一普遍现象背后的数学规则——以及一种新的理解。“这里数学的作用不是证明物理学家已经做出的猜想，”纽约大学库朗研究所的数学家、托巴斯科的研究生院导师罗伯特·科恩（Robert Kohn）说，“而是提供一个以前没有系统解释的理论。” 大踏步走 发展皱纹和弹性模式理论的目标是一个古老的目标。1894 年，在《自然》杂志的一篇评论中，数学家乔治·格林希尔（George Greenhill）指出了理论家（“我们要思考什么？”）和他们可以弄清楚的有用应用（“我们要做什么？”）之间的区别。 在 19 世纪和 20 世纪，科学家们在后者方面取得了很大进展，研究了与正在变形的特定物体的皱纹有关的问题。早期的例子包括为航海船只锻造光滑、弯曲的金属板的问题，以及试图将山脉的形成与地壳的加热联系起来。 最近，数学家和物理学家扩大了将理论与对各种起皱情况、几何形状和材料的观察联系起来的努力。“这已经持续了大约 10 年，我们首先进行实验，然后试图找到理解它们的理论，”牛津大学的数学家Dominic Vella说。“直到最近，我们才开始有了正确的认识。”
伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）提出了一种理论，该理论以数学方式描述了曲面被压平时出现的各种皱纹。Petra Lein 供图 有一些令人兴奋的里程碑。2015 年，麻省理工学院的机械工程师 Pedro Reis描述了在瘪陷硅球上形成的几何图案的物理规律。他的工作将这些皱纹与弹性材料内外层的厚度联系起来。Reis 还指出，皱纹可能会提供设计新机械行为的机会，而不是被视为缺陷。然后在 2017 年，Vella领导分析了弹性薄膜在压力下的起皱不稳定性，https:///doi/full/10.1098/rsta.2016.0330 描述了皱纹数量如何根据初始戳点的深度和其他具体细节而变化。 但这些发展仍然只解决了部分问题。为了更一般地理解皱纹是如何形成的，需要一种不同的方法。托巴斯科将是推动它前进的人。 追随好奇心 当他年轻的时候，托巴斯科认为他会进入航空航天工程。他于 2011 年毕业于密歇根大学，获得该领域的学士学位，但那时他已经开始深入思考数学推理和物理系统。他获得了数学博士学位，但他责怪现在雪城大学的物理学家乔伊·保尔森（Joey Paulsen）让他走上了皱纹的特定道路。 在保尔森职业生涯的早期，在研究不寻常材料的特性时，他学会了使用一种称为旋涂（spin coating）的技术制造和分析超薄聚合物薄膜。首先，他会制造一种特殊的液体材料，其中含有微量溶解的聚合物；然后他将材料放在旋转板上。大部分液体会蒸发，而聚合物在凝固之前会扩散到均匀的厚度。在雪城大学拥有自己的实验室后，保尔森学会了如何利用旋涂技术来制造弯曲的薄膜——比如超薄的龟壳。 有一天，他将其中一些弯曲的薄膜放在静止的水面上，并拍摄了它们是如何沉降在水面上的。“这纯粹是出于好奇，”他说。这些照片在 2017 年与保尔森的一次非正式会议上引起了托巴斯科的注意。 “他们表明你可以得到这些随机无序的皱纹模式——当你做了两次实验时，你得到了两种不同的模式，”托巴斯科说，他现在是芝加哥伊利诺伊大学的助理教授。“我想看看我是否可以从弹性中提出一些可推导的方法[来预测那些模式]，它结合了外壳的形状。而且模型不会因壳而异。” 起皱图案是能量最少的配置。也就是说，随着薄膜沉积在平坦的表面上，它会变形，直到找到皱纹的排列，无论是否无序，这需要最少的能量来维持。“你可以通过[模式]显现时存储的能量来组织模式，”托巴斯科说。 在该指导原则的指导下，他分离出薄膜的一些特征，这些特征被证明是选择其图案的特征，包括一种称为高斯曲率（Gaussian curvature）的形状度量。具有正高斯曲率的表面会远离自身弯曲，就像球的外部一样。相反，负曲率的表面是马鞍形的，就像一片薯片：如果你朝一个方向走，你会往上走，但如果你朝另一个方向走，你就会往下走。 托巴斯科发现正高斯曲率区域产生一种有序和无序区域的排列，而负曲率区域产生其他类型。“详细的几何形状并不那么重要，”Vella 说。“这真的只取决于高斯曲率的符号。”
他们曾怀疑高斯曲率对起皱很重要，但 Vella 表示，令人惊讶的是领域如此严重地依赖于符号。更重要的是，托巴斯科的理论也适用于广泛的弹性材料，而不仅仅是保尔森的形式。“这是一个很好的几何结构，可以显示皱纹出现的位置，”Vella 说。“但理解它的来源真的很深刻，有点令人惊讶。” 保尔森同意了。“伊恩的理论非常美妙之处是一次性给你整个模式。” 现实生活中的皱纹 2018 年初，托巴斯科的理论基本确定了——但即使它在纸上有效，他也不能确定它在现实世界中是否准确。托巴斯科联系了保尔森，询问他是否有兴趣合作。“有些东西马上就奏效了，”保尔森说。“伊恩的一些预测，放在实验图片之上，我们可以立即看到它们排列整齐。” 在当年的工业和应用数学学会的材料科学数学方面的会议上，托巴斯科被介绍给宾夕法尼亚大学的物理学家卡蒂福里（Eleni Katifori） ，他正在探索受限壳中的皱纹模式问题并建立一个结果数据库。这是一个偶然的时刻。“我们可以看到 Ian 的工作所解释的领域[在模拟中]，”她说。这场比赛是不可思议的。即使在他们的第一次讨论中，很明显托巴斯科的理论、保尔森的实验图像和卡蒂福里的模拟都描述了相同的现象。“即使在早期阶段，当我们没有任何具体的东西时，我们也可以看到这种联系。” 这种早期的兴奋很快引起了质疑。这似乎好得令人难以置信。“他是一位数学家，他把所有这些东西都变成了无维度的，”保尔森说，他指的是托巴斯科关于曲率的想法如何可以扩展到二维平面材料之外。“我们真的在看同一个系统吗？它是一致的，但它应该一致吗？” 在接下来的两年里，三位研究人员对细节进行了讨论，表明托巴斯科的理论确实——准确地——预测了保尔森在他的实验中看到的皱纹的排列，以及卡蒂福里在她的计算机模型中发现的皱纹的排列。8 月 25 日，他们在Nature Physics上发表了一篇论文 https://www./articles/s41567-022-01672-2 ，展示了这三种方法是如何汇聚在相同的、直接的皱纹几何排列上的。值得注意的是，他们发现这些图案属于整齐的等腰三角形（ isosceles triangles）家族，这些三角形划分了有序和无序的领域。此外，结果不仅限于对不可能的薄度材料的数学抽象，而是解决了多个数量级的厚度问题。 他们的工作还为推广该理论及其应用提供了机会。卡蒂福里说，作为一名物理学家，她有兴趣利用这些预测来设计新材料。“我想了解如何设计表面，以便它们实际上将起皱图案自组织成你想要的东西。” 另一个悬而未决的问题是该理论如何普遍适用于不同类型的曲面。“它非常关注 [高斯曲率] 为正或负的情况，但在很多情况下，有些区域是正的，有些是负的，”Vella 说。 保尔森同意这是一个令人兴奋的可能性，托巴斯科说他正在这个领域积极工作，并考虑其他形状的贝壳——比如那些有孔的贝壳。 但保尔森表示，即使就目前而言，这个理论也是美丽而令人惊讶的。“如果我给你一个壳和一个边界形状，以及伊恩理论预测的这套简单规则，那么你可以拿一个圆规和尺子，画出基本皱纹，”他说。“它不必以这种方式发生。这可能是完全令人震惊的。” 原文链接： https://www./the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/ |
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