|
当粒子沿任意形状的弯曲轨道运动时，可以将整个运动过程分解成无数个沿曲线在各点处的曲率圆运动的叠加。  在讨论运动速度的问题中，我们曾经用沿直轨道的运动来逼近沿弯曲轨道的运动：沿弯曲轨道的运动可以被分解成无数个沿无穷短的直轨道运动的叠加。然而，在讨论加速度的问题时，这种逼近并不合适。当粒子沿直轨道运动时，加速度的方向不会改变。但是，当粒子沿弯曲轨道运动时，加速度的方向是会发生改变的，显然，沿直轨道运动的逼近方式不能反映这个特性。为了研究如何更准确地逼近沿弯曲轨道的运动，需要引入一种新的坐标系，称为 “自然坐标系”。在自然坐标系中，取轨道上的任意点 (一般都会取运动开始的那一点) 为坐标原点，坐标轴沿着弯曲的运动轨迹，粒子的位置用从原点开始所经过的路程 表示，它是时间的函数：。在这种表示方法下，粒子的运动速度自然就是(1) 是轨迹曲线的切向单位矢量。 (2) 在讨论圆周运动时，我们已经通过分析得出 的方向沿圆轨道的内法线方向。类似的分析可以直接用到任意形状的弯曲轨道，结果发现，对于任意形状的弯曲轨道， 的方向指向轨迹曲线的主法线方向 。圆周曲线和平面曲线的内法线方向是一般空间曲线的主法线方向的特殊情形。余下的问题是确定 的数值，为了这个目的，需要引入一个新的概念。 在讨论速度的问题中，我们用两点之间的位置之差来定义速度。这个定义明确地告诉我们，想要获得粒子在某个点上的运动速度，需要知道粒子在所研究的点以及邻近的一个点的位置。我们知道，过两个点可以画一条直线，而过曲线上无限靠近的两个点画出的直线正是曲线在所研究的点上的切线，它是过该点最贴近曲线的直线，用它来逼近运动轨迹是一种一级近似。但是，正如前面所说，这种逼近不能完整地反映加速度的特性。如果要考虑加速度带来的效应，就必须用带有弯曲性质的曲线来逼近，这是一种二级逼近。在讨论加速度时，我们用两点之间的速度差来定义加速度。由于确定速度需要使用轨迹上的两个点的位置，因此，如果要用位置数据来确定加速度，就需要轨迹上至少三个点的位置。考虑一个粒子沿着一条任意形状的轨道运动，在某个时刻处于轨道上的 点。在这个时刻的前、后各一段时间间隔 时，粒子分别处于 点两侧的一个邻近点，通过这三个相邻的点可以画一个圆周。如果所取的 很短，两个相邻点与 点就靠得很近，画出来的圆周就会贴近轨迹曲线。现在，让 不断减小，两个相邻点将同时不断地靠近 点，所画出的圆周也在不断地更贴近轨迹曲线。不难推断，当 时，相邻的两点将无限地靠近 点，所画出的圆周也将达到最贴近轨迹曲线的状态。把这个最贴近轨迹曲线的圆周称为曲线在 点的曲率圆，用 标记这个曲率圆的半径，称之为曲线在 点的曲率半径，它的倒数被称为曲线在 点的曲率。曲率反映了曲线的弯曲程度，曲线在某点处的弯曲程度越高，在该点处的曲率半径就越小，曲率就越大。 有了曲率圆的概念，就可以继续讨论加速度的问题了。既然曲率圆是最贴近曲线的圆，那么，粒子在 点的邻域走过的路程就可以用这段路程对 点的曲率圆中心的张角近似地表示：。在极限情况下，。另一方面，与在《圆周运动：极坐标系》中讨论 和 的情况相似，从简单的几何关系就可以论证，在极限情况下，切向单位矢量转过的角度与曲率半径扫过的角度相同。由于单位矢量的长度为 1，因此，。于是，。利用路程与转角的关系，结合 (2) 式，得到加速度的表达式：公式的第一项反映了速度大小的变化，称为切向加速度，第二项反映了速度方向的改变，称为法向加速度。在匀速圆周运动中，由于加速度的大小并不改变，因此，切向加速度等于零，而法向加速度就是我们熟悉的向心加速度。 加速度的表达式 (3) 式与《变速圆周运动》中的表达式非常相似，唯一的改变是用曲率半径代替了圆周的半径。这种相似性显示出一件相当有趣的事情。从数学上说，在一条曲线的任意点处的曲率圆比该点处的切线更贴近这条曲线。因此，从这个近似的意义上说，在这一瞬间，粒子沿着弯曲轨道在该点处的曲率圆运动。把这个分析过程应用到运动轨迹的每一个点上，我们就可以得出一个奇妙的结论：当粒子沿任意形状的弯曲轨道运动时，可以将整个运动过程分解成无数个沿曲线在各点处的曲率圆运动的叠加，这些曲率圆在轨迹曲线的每一点上与运动轨迹相切并相互衔接，这样不断地发生改变，就构成了一条连续的和光滑的弯曲轨迹。
|
