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导论：毕达哥拉斯是将数学从经验上升到系统学科的第一人。毕达哥拉斯也否认了无理数的存在，作为当时数学体系教主般的人物，他执着于维护体系逻辑的一致性，面多无理数的挑衅，他断然否决其的存在。 模块一、数学的线索1、勾股定理在西方为什么叫做毕达哥拉斯定理？ 数学和自然科学的区别：测量与逻辑推理——测量会出错，推理不会；用事实证明与用逻辑证明——数学理论必须要证明；科学结论相对性和数学结论相对性。 2、如何用推理走出认知盲区？ 数学的预见性：从数学的定理出发，可以推导出很多真实现实世界的推论，从而改变我们对现实世界的看法。 3、数学家如何从逻辑出发想问题？ 具有数学的思维不在于算清小账，而是善于基于数学知识，使用逻辑发现问题，或者预见到不得不做的事情。 4、数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理 数学有着可叠加的进步。希尔伯特第十问题通过数学的方法，我们甚至无法判断一些问题的答案存在与否。但数学方法不是解决问题的唯一方法。 5、黄金分割，毕达哥拉斯如何连接数学和美学？ 等角螺旋线，黄金分割反映了宇宙本身的一个数。 6、数学应用：华罗庚化繁为简的神来之笔 优选法 7、数列和级数：当下很重要，但趋势更重要 斐波拉契数列增长的速率接近于黄金分割比1.618。 8、数列和级数：传销骗局的数学原理 拓展至生活中任何一件事情，不同的r(后一个元素与前一个元素的比值)会导致不同的增长结果。 9、数列和级数：藏在利息和月供里的秘密 债券交易的核心就是数学上的复利增长原理。买国债时，加息意味着同样面值的债券实际价值的贬值。 模块二、数的概念10、鸡兔同笼：方程这个数学工具为什么很强大？ 学会把具体问题抽象成模型，才能解决更多更难的问题。学习数学时很重要的一点在于将自然语言描述的问题转化为数学语言描述，然后用数学工具处理。 11、三次方程：数学史上著名的发明权之争 最重要的是学习概念，以及概念之间的联系，然后能够把现实问题转化为数学问题，接下来的解决，工具是很多的。（我的印象里，技巧大肆盛行之时是高中数学，经常被此打击的痛不欲生，然后班级里面几位数学大佬呼风唤雨，到了大学之后，反而少了很多技巧性的内容，大多都是简单通用的方法，也开始设计Mathematic等工具的使用） 12、虚数：虚构这个工具有什么用？ 复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。数字的拓展历史，也是人类认知升级的过程。 13、无穷：我们为什么难以理解无限的世界？ 无穷大不是一个数，而是一个动态的，反映了一种无限增加的趋势。在无穷大的世界里，部分可以和整体等价。要优先考虑量级的事情，而不是捡芝麻的小事。 14、无穷小：如何说服杠精芝诺？ 加入每一份时间都存在一个最小的、具体的长度，那么这样的无限份加和就是无限大，但在芝诺神龟的故事中，应当定义一个无穷小的量，使得此处的级数为一个有限的数值。 15、无穷小：牛顿和贝克莱在争什么？ 微积分的重大意义子在于让人类的认知从静态或者宏观变化进入到把握瞬间变化和加速变化。 16、无穷小：用动态和极限的眼光看世界 任何封闭体系内遇到的矛盾在这个体系内是无法弥补的。定量和逆向思维是魏尔斯特拉斯定义无穷小时应用的思维。不要害怕提出傻问题，符合逻辑的傻问题常常是认知升级的开始。 17、有什么比无穷大更大，比无穷小更小？ 无穷大和无穷小之间比较大小，比较的是变化的趋势。高阶，低阶。 18、数学带给我们的启示 取得小成就需要靠朋友帮忙，但要取得惊人的成就，就需要一个理性的对手。 模块三、几何学19、几何学，为什么是数学中最古老的分支？ 几何学早期的发展阶段，从朦胧的感性认识上升到量化的感性认识；美索不达米亚人发明了角度量化的度量。用书记录发现的规律。 20、公理体系：几何的系统理论从何而来? 由任意一点到另外任意一点可以画直线； 一条有限直线可以继续延长； 以任意点为圆心，以任意的距离可以画圆； 凡直角都彼此相等； 过直线外的一个点，可以做一条而且仅可以做一条该直线的平行线（平面上永不相交的两条线）； 整个几何学的基础是十条十分简单的公理，它的发展依靠对新定理的发现和通过逻辑推理证明这些定理。 21、非欧几何：相对论的数学基础是什么？ 罗氏几何：罗巴切夫斯基：过直线外一点可以做该直线的任意多条平行线，空间变成了马鞍形（双曲面）。 黎曼几何：黎曼：过直线外一点可以做该直线的0条平行线，空间变成了椭圆球。 爱因斯坦的相对论采用了黎曼几何为分析工具，学数学关键要学会在什么情况下，知道使用什么工具。 作为人，基本的设定没问题，活出自己的精彩是对社会的贡献。 22、解析几何：用代数的方法解决更难的几何问题 学会数学，不是做很多超出自己理解能力的难题，而是把自己有能力理解的知识融会贯通起来。 23、为什么几何能为法律提供理论基础？ 通过公理化系统建立起一个知识体系，体现出人类创造思想的最高水平。 西塞罗（奠定了罗马法中自然法精神）曾说：“法律是自然的力量，是明理之人的智慧和理性，也是衡量合法与非法的尺度。” 从基本的假设出发，采用逻辑客观的推导出结论。 24、数学的极限和生活里的极限是一回事吗？ 数学上的极限是绝对的、明确的，生活中却未必。生活中的极限往往指的是上下界。 各种计算级数的方法，能够使用的前提是最终加起来是一个有限的数，如果是无穷大，那些方法算出来的结果没有意义。 模块四、代数学25、函数：从静态到动态，从个别到趋势 函数的一个重要意义在于我们从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，并且可以准确度量趋势变化带来的差异。从常数思维到变量思维再到函数思维。 26、函数：如何通过公式理解因果关系？ 数学上的因果关系可以是双向的。由多个变量决定函数值的函数，每个变量和函数值有相关性，但他们没有决定性，也没有必然的因果关系。 27、向量代数：方向比努力更重要是鸡汤吗？ 向量的方向性，也提示我们如果什么事情都想做，力量不仅分散，而且会彼此产生矛盾。即使没有矛盾，用力方向不一致，效率也低。 28、向量代数：如何通过向量夹角理解不同维度？ 当两个向量在同样的维度上的分量都比较大时，他们的夹角就很小，反之，当两个向量在不同维度上的分量比较大时，就近乎正交。利用向量对文本分类。书写简历时画蛇添足的内容实际上会削弱求职者的竞争力，在目标职位看中的维度上用心，而其他维度不用在意。 29、线性代数：矩阵到底怎么用？ 矩阵产生的原因是向量的扩展。矩阵和向量相乘，是批量处理解决问题的思路。而将单个计算编程大批量处理正是我们在信息时代要有的思维。打包思维。 模块五、微积分30、微分：如何从宏观变化了解微观趋势？ 导数的本质是对变化快慢的准确量化量度。在限制要素中做选择时，很多时候人总想全方位地提高自己，但是精力和资源有限，在某一时刻可能只能向一个方向努力，而我们应该选择增长速度最快的方向。任何时候算出梯度，沿着最陡但是收益最大的路径前进。 微积分带来的一个思维提升是练习从宏观趋势中把握微观的变化，让我们认清每一步的方向。 31、微分：搞懂奇点，理解连续性 导数在数学上更本质的意义在于它是对连续性的一种测度，光滑、连续的导数曲线，可以成为判断未来走势的依据。导数的性质很好地反应了总量变化的趋势，正因如此，向前看的人通常更喜欢看一个函数导数的性质，而不是盯着总量。我们追求的目标应该是拿下光滑的变化趋势，而不是到处是奇点和不可导的尖点的情况。 32、积分：如何从微观趋势了解宏观变化？ 积分思想的本质是从动态变化来看累积效应。从微观上每一时刻动态的变化理解宏观上积累的效果。 33、用变化的眼光看最大值和最小值。 牛顿的伟大之处在于不像前人一样，将最优化问题看成是若干数量比较大小的问题，而是看成研究函数动态变化趋势的问题，寻找函数的拐点。人类对事物的理解从静态变成动态了。 34、微积分到底是谁发明的？ 牛顿是物理学家，他发明的微积分有很多自然科学的色彩，而莱布尼茨是哲学家，从莱布尼茨发明微积分的过程，可以看出自然科学可以给数学启发，但并不是完全必须的，数学暂时离开了自然科学，也能发展，只要从正确的前提出发，根据逻辑就能构建起一个体系的大厦。 模块六、概率、统计、博弈论35、概率简史：一门来自赌徒的学问 概率论是揭示不确定性世界观规律的数学分支。 36、伯努利试验：到底如何理解随机性？ 有关不确定性的规律，只有在大量随机试验时才显现出来，当试验的次数不足，它则出现偶然性和随机性。 越是小概率事件，如果想要确保它发生，需要试验的次数比理想的次数越要多得多。提高单次成功率远比多做实验更重要。概率论证明，凡事做好充足的准备，争取一次性成功，这远比不断尝试小概率事件靠谱得多。 （在评论区看到，有人说发现一个有用的想法，你要多去尝试很多无用的，我感觉人生就是这样，有一些挫折是一定要经历的，即使有前人教导，也还是要自己犯错。） 37、泊松分布：为什么保险公司的客户群都很大？ 很多人投资总是失败，判定一件事发生的可能性总是有很大的误差，一个重要的原因就是靠直觉和有严重漏洞的逻辑，而不是靠严密的数学逻辑和推导。 由于随机性的作用，我们在准备资源时，达到平均值是不够的，需要多准备一些冗余量。 池子越大，越能抵消随机性带来的误差。 38、数据资产：你的数据到底属于谁，又该怎么用？ 区块链能防止数据无成本的拷贝复制，世界上任何能拷贝的东西都没有价值，而越是稀缺的越有价值。将数据资产化，进而资本化，对数据的所有者、管理者和使用者，都会产生巨大的利益。 39、高斯分布：大概率事件意味着什么？ 风险往往存在于经常被我们视而不见的大概率事件中。股市的奉献远远高出大部分人的想象；任何一种投资都有标准差（风险），因此对比投资回报时要把它考虑进去，不能只考虑回报不考虑风险。 由于偶然性的存在，如果只有很小的均值差异。那可能说明不了什么问题。 40、条件概率和贝叶斯公式：机器翻译是怎么工作的？ 条件概率的启示，盲目学习别人的经验是没有用的，必须搞清楚具体条件，；人们原来认为不可能做成的事情，一旦条件具备，就成为了大概率事件。 贝叶斯公式的实质首先在数学上条件和结果可以互换，其次通过这种互换，可以把一个复杂的问题变成三个简单的问题。 41、概率公理化：一个必须补上的理论漏洞 拉普拉斯循环定义的bug. 42、统计学和大数据：为什么大多数企业用不好数据？ 虽然今天的数据量不再是问题，但如何选定可能有关联的变量（霍桑实验）则体现了人类的智慧。第二个原因是低估了数据的稀疏性所带来的副作用。第三是把原因和结果搞反了。 使用统计的方法解决问题，通常是有章可循的： 设立研究目标。使用数据驱动的方法除了要准备一个待证实的假说，还要准备一个可对比的备用假说。 设计实验，选取数据。数据应该方便量化处理。 根据实验方案进行统计和实验，分析方差。方差衡量了风险。 通过分析进一步了解数据，提出新假说。 使用研究结果。 43、古德—图灵折扣估计：黑天鹅事件能防范吗？ 数据的稀疏性或数据量不足的原因是当我们要进行多个维度的分析时，几个维度变量的组合可能会有太多的情况，以至于每一种组合分摊下来的数据量都很小。 解决方法： 古德—图灵折扣估计法（主要用以解决一种被称为零概率的事件） 实际上是把高频词的词频打了一个折扣，多出来的词频分配给了低频词，使整个概率分布的曲线变得更光滑了。齐普夫发现一个词的排位和它词频的乘积近乎是一个常数（6%） 将小概率事件的概率强制设定为零，结果就是迟早会遇到黑天鹅事件。 插值法 此法的精髓在于相信那些见到次数比较多的统计结果，如果遇到统计数量不足时，就设法找一个可靠的统计结果来近似。 在数学和信息论上可以证明，无论是插值法还是备用法，都比单独依靠统计结果直接产生概率模型更准确。 44、零和博弈（鞍点理论）：如何找到双方的平衡点？ 在两方的博弈中，大家其实就是在寻找马鞍点这样一个平衡点，因为大家都知道如果自己走出了平衡点，对方就有办法反制，使自己的利益受损。 虽然每个人都希望自己的利益最大化，但是更有意义，更能保证自己利益的是达成各方面的均衡。在选择策略时，不要老考虑对自己有利的事情，而低估对手的策略，要多考虑下行风险，要在所有的最小值中，寻找最大值。 45、非零和博弈（纳什均衡）：真的存在共赢吗？ 所有的零和博弈都没有共赢的可能性，只有平衡的可能性，但是非零和博弈则可能实现共赢。非零和博弈即双方的得失加起来不是零，也不是个常数的博弈。双赢点是大家主观上想要达成的结果，通常是合作性博弈，而纳什均衡解决的是非合作型博弈，常常最终是双输的结果。 永远不要玩难以达成双赢的游戏，因为出来混迟早是要还的，人不可能永远在零和博弈中占别人的便宜。 智 博弈，现实中鼓励小企业和后来者采用搭便车的跟随策略，让大企业投入大量资金研发新技术。 做人处事，看的是信用，重复博弈和冗余信息，正是增加信任最好的方式。做一个笨人而不是耍小聪明更容易有长远利益。白话文更加繁琐但是通过增加冗余性克服了信息传播中的噪声。 46、到底该如何有效筛选数据？ 指定最好的策略，是要考虑到对方采取每一种策略的概率，而不是简单考虑对方一定会采取对自己不利的策略。 大数据需要数据量大，数据具有完备性，非刻意收集的自然数据 模块七、数学的基础作用47、数学和哲学：一头一尾的两门学科 笛卡尔作为一名哲学家回答了两个问题：人是如何获得知识的？人能否通过自身努力获得知识。靠经验积累的知识有两大问题，一是太慢，二是直接经验常常是不可靠的。笛卡尔说要通过理性推理，实现去伪存真。理性主要分为实证和通过逻辑推理两种方式。 莱布尼茨的两个哲学观点：相对的因果时空观，对离散的世界的理解。无用之用，方为大用，一个人只有在深刻理解了人类知识的普遍性原理后，才能站在一个制高点往下俯视。 48、数学和自然科学：数学如何改造科学？ 数学对自然科学的帮助，体现在工具和方法两方面。从简单的观察上升到理性的分析；从给出原则性结论到量化的结论；将自然科学公式化或者说用数学的语言来描述自然科学。 49、数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础？ 同一律：一个事物只能是其本。 矛盾律：在事物的某一个方面，不可能既是A又不是A。强调四个同一，同一时间，同一方面，同意属性，同一对象，总之就是独一无二。 排中律：任何事物在明确的条件下，都要有明确的“是”或“非”的判断，不存在中间状态。 充分条件律：任何结论都要有充足的理由，有果必有因。 50、数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具？ 运筹学是利用图论、线性代数等数学工具，从整体上改进现有系统的效率。大历史的研究思路是需要用数学的思路也就是归纳和演绎的方法，构建出一个能够自洽的知识体系。在历史学研究中，不强调所谓的正确性或正统观点，而强调逻辑的自洽。任何从客观出发，逻辑上能自洽的结论都是有意义的。 人类知识底层的相通性，理解方法和逻辑的重要性，这是我们通识教育的目的。 51、伽罗瓦和古典数学难题：难题给我们的启发 三点启示： 绝大多数知识体系都不可能做到绝对的完备性和一致性的统一。也就是说，如果我们在数学内划定一个区域，这个区域里很可能出现仅依靠区域内的知识无法解决的难题。 进一步体会工具的作用，工具不同于技巧，工具可以用于解决一整类的问题，具备延展性。 最后要跳出圈外，在一个时代，某些问题之所以显得很难，是因为它们看似属于当时的知识体系中的问题，实则不是。 52、当今的七大千禧数学难题 庞加莱猜想：任何一个单连通的、封闭的三维形体，等价于一个三维的球体。 NP问题；霍奇猜想；黎曼猜想；杨-米尔斯存在性与质量间隙；纳斯-斯托克斯存在性与光滑性；贝赫和斯维讷通-戴尔猜想； 53、总结课 任何数学分支，都必须从基本公理去建立自己的理论体系。 数学的思维方式： 不要轻易相信没有根据的结论，一切要从公理出发，用逻辑得到结论； 在解决问题之前要先搞清楚问题，特别是搞清楚问题的定义； 各种知识体系是相通的； 用动态、发展的眼光看待世界； 54、椭圆曲线加密：比特币加密的数学基础 加密的本质是数学的不对称性。比特币的意义在于证实了我们可以通过加密和授权，兼顾保护信息不外泄，而且某些得到授权的人还能使用信息。 55、《成就》 坎贝尔的管理思想和人才培养模式： 强调在IT企业里规范管理的必要性； 强调IT企业管理和传统工业企业的差异； 强调服务型管理； 强调管理者自身的提高和工作效率。 以上就是在得到上学习的《数学通识50讲》的课程的每一节的重点摘要。通识教育也称为博雅教育，更看重的是对学习者知识体系的建立，思维逻辑的训练，就像本门课程一样，短短的10个小时涵盖了从小学到大学的数学几乎全部的重点内容，但即使学完这门课，我们依旧不能做出很多难题，但是意义不在于此，数学的本质是什么？数学对我们来说有什么意义？ 数学是一个纯公理化的体系，只有通过严格的逻辑演绎，才能证真，这也是它和其它自然科学最本质的区别。数学工具的重要性溢于言表，这其实很大程度上安慰了我的内心。一直以来我都很佩服那些会高超解题技巧的人，尤其在高中数学，常常被那些“聪明”的同学使用的解题技巧虐的不行，怀疑自己的智商。 我是一个再普通不过的人，数学努努力学得马马虎虎，勉强应付考试，但却感觉自己始终不能领略精髓，我也在和数学的抗争中明确了自己不是一个聪明的人。通过这门课，我却感觉数学的精髓也并不在于技巧，而某种程度上在于工具的使用。也对美国的数学教育方法表示赞同。 关于数学对真实世界的种种启发意义以及它对其它学科的影响，则让我大开眼界，数学原来不是枯燥无味的数字或图案，而是与我们的生活密切相关，对于我这么一个很看重理论知识的实践应用的人来说，它具有了更大的意义。 而同时也感受到了各个学科的内在联系，体会到一种统一的美，即使数学本身的完备性和统一性存在矛盾，但整个知识体系却有其联系性，这也让我惊喜不已，同时更有动力学习本专业其它领域的知识。 还有一点是关于数学的历史发展，看到了很多优秀的数学家，又是膜拜大神的一天，同时也被他们的趣事和鲜明的性格特点所吸引，联系到我的生活，会对那些行为乖张的人多一份理解，谁知道他们是不是一个天才呢？不能做一个天才，也要努力做一个对天才友好让其自由生长的环境吧！ 一年以前，我修完了《高等数学》，不久前我又学完了这门通识课，数学的理论学习可以说在我的生活中暂告一段落，但是数学对我人生的影响，对我思维的训练不会停止，我也继续带着数学的启发前进！ |
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