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知识解读 角平分线所在直线是所在角的对称轴，因此角平分线的性质都是以轴对称为基础的，其辅助线作法也应多从轴对称的角度来考虑，其常用的辅助线构造方法有：（1）过角平分线上一点作到角的两边的垂线段，如图1－4－1①.（2）以顶点为圆心，在角两边截取两条相等的线段，构造全等三角形，如图1－4－1②.（3）利用三线合一定理构造等腰三角形，如图1－4－1③.（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，如图1－4－1④.
典例示范 一、过角平分线上一点作两边的垂线段. 例1如图1－4－2，AB//CD，E为AD上一点，且BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD.求证：AE＝ED. 【提示】由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们可以过点E，分别作AB，BC，CD的垂线段，如图1－4－3. 【解答】
【技巧点评】 过一点作角两边的垂线段，构造的是一对全等的直角三角形，可以得到一些相等的线段和相等的角，但利用角平分线的性质，可以省去证明全等这一环节，直接证得线段相等。同样由“距离”相等，也能直接得到角平分线.让证明来得更简捷。 二、角平分线＋高＝全等三角形 例2如图1－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CELBE.求证：CE＝BD. 【提示】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形。 【解答】
【技巧点评】 当一根线段同时满足“是角平分线”、“是中线”和“是高”中两个时，可考虑将图形补成一个等腰三角形解决问题。 三、借助角平分线的轴对称性构造全等三角形 例3如图1－4－7，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AB＝AC＋CD. 【提示】可考感以AD为对称轴构造全等三角形，可在AB边上截取AE＝AC，也可以延长AC到点E，使得AE＝AB. 【解答】
【技巧点评】 角平分线所在直线是角的对称轴，可以对称着构造全等三角形。 四、角平分线十平行线＝等腰三角形 例4 如图1－4－9，在△ABC（AB≠AC）中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF//AB，交AE于点F，DF＝AC.求证：AE平分∠BAC. 【提示】要说明∠BAE＝∠CAE，可寻找一个角等于这两个角，可过点D作DM/AC，与角平分线AE固成一个等腰三角形，从而寻找到这个角。 【解答】
【技巧点评】 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1－4－10①中，若AD平分∠BAC，AD//EC，则△ACE是等腰三角形；如图1－4－10②中，若AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；如图1－4－10③中，若AD平分∠B4C，CE/∥AB，则△ACE是等腰三角形；如图1－4－10④中，若AD平分∠BAC，EF//AD，则△AGE是等腰三角形。
拓展延伸 例5 如图1－4－12，在△ABC中，证明： （1）若AD为角平分线，则S△ABD：S△ACD＝BD:CD； （2）设D为BC上一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD＝AB:AC，则AD为∠BAC的平分线. 【提示】（1）△ABD，△ACD，BD，CD边上的高相同，面积比等于底边长之比；（2）由这两个三角形的面积之比可看出点D到∠BAC两边的距离相等. 【解答】
【技巧点评】 通过这道题目可以看出，当AD平分∠BAC时，S△ABD: S△ACD＝BD:CD，S△ABD: S△ACD＝AB:AC，可以得出结论BD:CD＝AB:AC. |
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