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本题选自2022年贵州遵义中考数学压轴题，题目以四点共圆问题为基础，考查几何定值等问题，值得了解。 【题目】 综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究： （3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若AB＝2√2 ，AD·AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】 （1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆。 （2）先得到四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到结论为45°。 （3）①四点共圆，可以根据前面的探究结论得出。
根据等腰和对称，可以得到∠AED=∠ABD=∠ACD。那么就可以得到点A、D、B、E四点共圆。也可以证明∠DAE+∠DBE=180°。 ②遇到线段乘积，首先想到的是比例与相似。求的是AD·AF的值，给的条件是AB的值。那么可以联想到△ABD是否与△AFB相似。如果相似，则可以立马得到结论。 它们是有公共角的三角形，那么只需证明另一对角相等即可。
根据轴对称和四点共圆，可以得到∠DAC=∠DAE=∠DBF，那么可以得到点A、B、F、C四点共圆。 那么就可以得到∠ABC=∠C=∠F，那么就可以得到△ABD∽△AFB， 进而得到AB/AF=AD/AB，则AD·AF=AB²=8。
【总结】 本题主要考查四点共圆与相似等性质，难度不大，但是考查的知识点比较重要。 |
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