数学公式的美感与有用

美国数学教师麦克·珀山（Michael Pershan）曾经在著名社交网站推特上说过一句话：“数学不是关于美感，或逻辑，或抽象，或解决问题等等。它是一个非常混乱的人类活动。”他的这段话引起了许多数学工作者的负面的回应。他最后修改了这句话，改成了“数学不仅是关于……”后才平息了争论。

我想，他的修改是必要的。正如我们中国数学科普作家所强调的那样，数学是美的化身。最典型的例子之一就是欧拉恒等式：。这个公式经美国物理学家费曼的推崇后被广为传播。

但在纯数学之外，应用数学家和计算数学家们可能更经常看到的是数学的“混乱”那部分。因为他们所做的是用数学工具去解决自然世界的实际问题的。在这里，从自然抽象出来的数学必须放下它的美丽身段而与自然界挂钩。我想，这正是珀山的初衷。

我曾经有些鲁莽地在科学网博客上发了一篇博文：“最丑的数学公式”。最可笑的是，我把求四次函数的根的通解公式当作了最丑的数学公式。意大利数学家洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）在 1540 年发现了四次方程的解。据说更早的有西班牙数学家瓦尔梅斯（Valmes） 在 1486 年也声称得到了四次方程的解。而他竟然因此被处以火刑。以后的三百年中，多少人寻找五次方程的通解而无所获。直到 1824 年挪威数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel）证明了这是不可能的，于是在追求多项式通解的道路上，“最丑数学公式”留给了四次方程的通解。但其实这个公式仔细看还是满有规律的，它具有着对称美。所以我的例子显然错了。

在我发出这篇博文的时候，我就预感到会有很多吐槽。果不其然，多数的评论是负面的，尽管还是客气的（谢谢！）。王国强老师指出：“有人说，垃圾是放错了地方的资源。我想，这些'丑’公式，大概是被放在了一个不恰当的变量空间中所导致的。如果放在一个合适的变量空间中，那么会跟欧拉公式一样美。实际上，从复变量的角度来看， 次方根公式跟欧拉公式，其实是一回事儿。” 赵柳老师说：“数学家才不在乎数学公式的美丑。对他们来说，美和丑都是无法量化的东西，谈不上'最’字。”赵老师所言极是！“说实话，我知道我的结论有些唐突。我应该在“最丑”两字上加上引号，因为只有更丑，没有最丑。其实我在那篇文章里也暗示过，我所谓丑的意思并不是真的丑。只是为了对应于“最美数学公式”而用了一个丑字。但话又说回来，四次多项式的通解已经超乎想像地烦长，有谁会记住它，用到它呢？它的意义仅在于结论：四次方程和二次方程一样有公式解。

感谢李泳老师写了一篇回应：“哪儿有丑数学?”。李老师写到：

“纯数学家哈代说，美是检验数学的第一标准，丑数学尾巴长不了。（Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.）他认为数学无用也无害；而用的数学不是真数学，既丑且恶。他说的'无用’，不是暂时找不到用，而是根本的'无用’。数学的'无用’是珍贵的品质。最美的数学是'没用的’数学，那样的数学不会被滥用，不会给人类带来灾难。他极为反感数学的应用，特别是在工程和战争的应用。他在他的 Apology 里反复表达了一个意思：应用数学是丑的（ugly），平庸的（trivial），乏味的（dull）。我不学哈代的极端，但看到那些'应用’的数学，还是宁愿欣赏哈代的数学纯情。”

四次多项式的通解已经超乎想像地烦长，似乎预示着哈代的话：丑数学尾巴长不了。果然到五次时就再也走不下去了。我在做事情的时候有时会这样，当我的处理越来越复杂的时候，可能就预示着应该有更好的办法。而事实往往如此。不过，用这种思想来给应用数学下论断是错误的。

李老师还写到：

“数学美在哪儿呢？我这儿说三点：逻辑性、普适性和严肃性。前两性不用说了；严肃性是借哈代的词儿，意思是它能关联更深广的问题。方程求解公式不那么美，就因为它不够严肃，引不出更多更深的东西来。（相比之下，Galois 同学的作业就美绝了，还是壮美。）那么，为应用的公式找点儿美味，就得看它是不是有逻辑，是不是普适（相对的），是不是能关联更深层的问题和理论。”

我特地到互联网上去 Google 了一下，发现早就有人谈过“最丑数学公式”了。比如，在“知乎”上就有一个“数学史上你认为最丑陋的公式是什么？”的讨论。在《数学人文》杂志上有一篇“扫描数学家的脑 ── 看到数学之美”。阿蒂亚 (M. Atiyah) 爵士提供了 60 个包含许多领域的数学公式让 16 位数学家来评比。最美的当然是欧拉公式。最低分的丑公式则是拉马努金（Ramanujan）的  公式：

这个由拉马努金发现的公式确实比四次方程的通解要丑多了。但其实，它有一个更一般的形式（拉马努金-佐藤级数）：

其中， 是一些满足一定递归关系的可以用二项式系数表达的已知数列，, ,  则需用高阶模形式来表达。这方面的结果一直到近些年都还有新的进展。这样看来，拉马努金的  公式还是很美的。

还是李老师说得对：“要把数学内部的美丑问题推波助澜到'应用’领域，那儿常常没有美丑意识。'正所谓’不管白猫黑猫，能捉到老鼠就是好猫。”让我们也举一个例子：

我必须把这个截图缩小后才能放入我的这篇文章里。不过你可以在这里得到这个公式的 LaTeX 原本：
http://nuclear./~tgutierr/files/sml.txt 。符号可能看不清，但这并不重要。它的作者托马斯·古铁雷斯（Thomas D. Gutierrez）教授说他花了四个小时打字。他是从荷兰理论物理学家马丁纽斯·韦尔特曼（Martinus Justinus Godefriedus Veltman）的著作《费恩曼图》（Diagrammatica: The Path to Feynman Diagrams）中截取出来的。这个怪物是什么？它是粒子物理学里的标准模型（Standard Model），描述强力、弱力及电磁力这三种基本力及组成所有物质基本粒子的理论，属于量子场论的范畴，并与量子力学及狭义相对论相容。到目前为止，几乎所有对以上三种力的实验的结果都合乎这套理论的预测。你不能说它没有用吧？作为一个数学科普作者，我想，我们一方面要告诉读者数学的美感和严谨，也应该告诉他们当数学作为工具时可能时凌乱的或不严谨的。科技工作者所需要做的就是从中找出规律，提炼出模型，甚至上升到理论。在大数据的时代，这一点更为重要。非数学专业的科技人员一直在这样做。学数学的人也应该具有这种能力。像前面说的，四次方程的解可以在不同的坐标系下转换成优美的表达式（我们对二次曲线不就是这样做的吗？）。物理学家们当然不会使用上面的标准模型公式。他们把它分解成了具有可读性的一系列公式。

我不敢说这个标准模型公式是最丑的。但工程数学里的几乎所有公式都是像它一样看上去复杂无序。没有最丑，只有更丑。但只要它有用，那么它就丑得其所。让我们停止感叹，努力发现它的传统之美并把它展现给读者吧。

参考文献

[1] K. Devlin, Is math really beautiful?
http://devlinsangle./2018/09/is-math-really-beautiful.html

[2] Quartic function, https://en./wiki/Quartic_function

[3] Ramanujan-Sato series,
https://en./wiki/Ramanujan%E2%80%93Sato_series

[4] T.D. Gutierrez, Standard Model Lagrangian (density),
http://nuclear./\textasciitilde{}tgutierr/files/stmL1.html

[5] S. Zeki1, J.P. Romaya1, D.M.T. Benincasa and M.F. Atiyah, The experience of mathematical beauty and its neural correlates, Front. Hum. Neurosci., 13 February 2014

[6] 李泳, 哪儿有丑数学?
http://blog.sciencenet.cn/blog-279992-1110777.html

[7] 张天蓉, 科学之数学美,
http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1166326.html

[8] 扫描数学家的脑——看到数学之美, 《数理人文》杂志,
https:///n/1071215752045
[9] 刘瑞祥，数学美在哪里，遇见数学公众号