杨博士专刊 | 钢结构稳定设计假定之二（为何以欧拉命名？）

#上篇文章《钢结构稳定设计假定之一（欧拉伟大）》中，我们从欧拉聊到了俞伯牙，体会了极具数学美感的欧拉公式和欧拉恒等式，讨论了求解轴心压杆稳定问题临界承载力的“静力法”和“动力法”，顺便也说了说防屈曲约束支撑的原理和避免误解。

这期文章我们研究一下轴心压杆稳定问题求解的“变分法”及其前提假定。

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轴心压杆稳定问题求解的“变分法”

除了“静力法”和“动力法”之外，还有其他方法求解轴心压杆稳定问题吗？在《终极科学真理存在吗？》和其他文章中，我们曾反复讨论过“最小作用量原理”和“变分法”。对尼古拉斯.曼顿的如下名言应该已有所体会：“用一个统一的观点贯穿整个物理世界，这就是变分原理，它最重要的范例就是最小作用量原理，几乎所有成功物理理论都能利用这个观点进行阐述，它是现代物理学的核心。”（摘自《后费曼物理学讲义》序）

下面我们通过“变分法”来求解轴心压杆稳定问题，为表述方便，以 表示对的1~4阶微分。

通过上文可知，纯弯杆件任意截面弯矩与曲率、转角和位移存在如下关系：

 

式中：——截面曲率、转角和位移；

——弯矩；

——弹性模量；

——截面惯性矩。

杆件应变能为：

杆件势能为：

小变形时，上式杆件势能可简化为：

设变分法中的拉格朗日量为如下形式：

则作用量：

作用量的变分为：

根据最小作用量原理，对任意，需满足，必有：

对于两端铰接杆，几何条件为，满足几何条件的杆件变形可一般性地以三角函数表达如下：

式中：——变形三角函数分量幅值。

带入上式，可得轴心压杆稳定承载力为：

数学太美了！微积分太伟大了！你体会到了吗？

轴心压杆稳定问题求解可采用“静力法”、“动力法”和“变分法”，这几种方法分别根据物理原理，列出了常微分方程、偏微分方程和积分方程，最终得出了同样的物理结论。

多么了不起的人类智慧啊!

02

轴心压杆稳定求解方法中的前提假定

无论采用上述哪种轴心压杆稳定问题的求解方法，都隐含着如下几个前提假定：

1）理想均匀直杆假定：构件无初始应力、初始缺陷、初始偏心或初始变形；

2）理想边界约束假定：构件两端为理想固接或铰接；

3）材料弹性假定：弹性模量保持为常量；

4）小变形假定：构件横向变形远小于构件轴向长度；

5）平截面假定：构件受力变形后截面仍保持为平面；

6）一维正应力假定：构件受力变形后，横向正应力始终为0。

了解物理问题求解方法中的前提假定非常重要，每个前提假定都限定了其解的适用范围。一旦前提假定不再成立，所得结论将产生较大的误差甚至错误，这一点我们从后期文章中可以体会到。

03

为何以欧拉命名？

还有一个有意思的问题值得说说，我们一般将轴心压杆稳定临界承载力公式叫做“欧拉稳定公式”，这个公式是欧拉首先推导得到的吗？

查了一下文献，除在数学方面的突出贡献外，欧拉确实对经典力学的发展也起到了关键性作用，被视为分析力学的奠基人之一。欧拉作为约翰.伯努利（(Johann Bernoulli）的学生和约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的老师，共同开创了变分法这一数学和科学利器。

但似乎没有直接证据表明轴心压杆稳定临界承载力公式是欧拉首次推导得到的，虽然变分法是分析力学的基本方法，但将轴心压杆稳定临界承载力公式称作“欧拉稳定公式”总觉得很牵强，而且这种叫法似乎也弱化了欧拉对于分析力学的贡献，因为稳定问题只是分析力学很小的一个部分。通过“变分法”确实可以得到轴心压杆稳定临界承载力计算公式，但若因此以欧拉命名，那很多近代物理定律前面都应该加上欧拉的名字，而且是不是还应该加上一长串其他数学家和物理学家的名字？

相信欧拉一定非常不喜欢后人滥用他的名字，只有将他的名字与那些他做出过直接贡献的伟大公式联系起来（例如将复指数与三角函数对应起来的“欧拉公式”），才是对他真正的尊重。

04

钢结构真那么理想吗？

通过对轴心压杆稳定问题的讨论，可能会感觉钢结构要比混凝土“优美”，了解钢结构的受力状态和进行设计可能要比混凝土结构更容易，我大学毕业时就是这样认为的。是这样吗？我们下期文章接着讨论。

END