【原】新教材里潜在的高考题系列8：奇偶函数对称性的拓展

新教材好文系列继续，今天说的是对称性.

朋友们都熟知，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称.

如果把函数进行平移操作，那么对称轴、或者对称中心当然要跟着移动.

为了引导学生朝这些方向进行拓展，教材设计了这样的习题：

人教A版新教材第87页，拓广探索的13题：

这一拓展有大用.

1

三次函数的对称中心

我们都知道，三次函数y=x^3是奇函数.

一般形式的三次函数可以通过函数y=x^3平移得到.

因此，一般的三次函数都有对称中心.

按照教材的结论，我们只需把构造出f(x+a)-b为奇函数的形式，就能得出对称中心坐标.

比如f(x)=x^3-3x^2=(x-1)^3+3(x-1)+2.

因为f(x+1)-2=x^3+3x为奇函数，所以f(x)的图象关于（1,2）对称.

当然，有读者会说，直接令二阶导等于0，就能解出对称中心的横坐标.

2

对称中心进阶版：多个奇函数组合，并且平移

代数题的难点，有一半在于式子的变形.

有些复杂函数也有对称中心，但是因为形式被改的面目全非，我们不容易一眼看出.

比如下面这道：

本题给出的函数关于（1,0）对称，你看出来了吗？

根据这个模式，出题人能够给出眼花缭乱的各种组合，试试自己编制几个关于（1,0）对称的复杂函数.

3

对称轴进阶版：多个偶函数组合，然后平移

这个拓展有大用，也是考察热点.

你能发现下面三个函数的对称轴吗？

把上面三个函数中的-1都去掉，新函数都是偶函数.

因此上面三个函数都有对称轴x=1.

更进一步，把多个这种特征的函数拼在一起，难度就上来了.

看看下面这道：

试试你的身手，欢迎在文后留言，写出你的答案.

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