2022绥化中考数学压轴题分析：与点有关的位置关系及矩形的存在性问题

本题选自2022年黑龙江绥化中考数学压轴题，以二次函数为背景。考查点与直线的位置关系，以及矩形的存在性问题。有一定难度，值得研究探讨。

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【题目】

（2022·绥化）如图，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点A（0，-4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x=2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒√2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；

（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

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【分析】

（1）根据对称轴x=2，点A和点C的坐标，代入可以得到抛物线的解析式为

y=1/3x²-4/3x-4。

（2）如图，用m表示出点G的坐标，使得坐标满足直线BC的解析式即可。

已知条件可以得到AE=√2m，那么点E的坐标可以得到为

（m，m-4），

那么就可以得到点F的坐标为（m，-4），

则可以得到EF的长为m，那么可以得到点G的坐标为

（3m/2，m/2-4），

要求当点G落在BC上时，m的值与点G的坐标。

那么就需要求出BC的解析式。

设直线BC的解析式，用待定系数法可以得到BC的解析式为y=2x-12，

当点G落在直线BC上时，代入坐标可以得到

3m-12=m/2-4。

解得m=16/5，那么此时点G的坐标为（,24/5，-12/5）。

（3）本题求以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形时点G的坐标，表面是矩形的存在性问题，实际上属于两定一动型直角三角形的存在性问题。

本题仍然可以从两个方面进行解决。代数法或者几何法。

如果表示出点G的坐标，然后用勾股定理建立等量关系，只需要解方程进行排除就可以了。

如果用几何法，就是根据直角构造三垂直模型进行求解即可。

如图，通过构造两圆一下模型，可以确定点G在什么情况下符合条件。由点G的轨迹可以得到4个点。那么构造三垂直可以求解。

几何法示例：当∠GBC=90°时，如下图所示。

此时可以得到△GMB∽△CDB，那么就可以得到GM/CD=BM/BD，

根据点G（3m/2，m/2-4），那么代入就可以求解了，

(m/2-4)/2=(4-3m/2)/4，解得m=24/5，进而得到点G的坐标为（36/5，-8/5）。

如上图所示，当∠BGC=90°时又是另外一种情况。以此类推即可。

点G的运动轨迹如下。

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【思路二】

如果用代数法，用m表示出点G的坐标，然后分别表示三边长，直接分三种情况来讨论即可：
①当点为直角顶点时，，
，
解得，
，。
②当点为直角顶点时，，
，
解得，
，。
③当点为直角顶点时，，
，
解得或2，
或，。
综上所述，存在以，，和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点的坐标为，或，或或，．

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