一、数学建模本来就是初高中的数学核心素养之一。史宁中教授多次谈到，数学抽象之后，建立数学模型，然后解决问题，是数学化的一般方法。例如对于函数而言，常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 再比如广州市共享课堂初二的《最短路径》这一节，总结的方法归纳如下：  所以模型不能去，也去不得！ 但是高中和初中新课标的数学建模，和初中常见的解题模型如“手拉手模型”、“倍长中线模型”，“旋转模型”，“一线三等角模型”、“胡不归模型”、“瓜豆原理模型”、“费马点模型”……是不是同一个概念？ 当然，高中也有许多各种解题的二级结论，例如“同构”、“对数平均不等式”、“极值点偏移”……这些是不是新课标中的“数学建模”？ 许多“专家”诟病初高中的数学解题模型，认为会禁锢学生的思维，但是他们在教二次函数模型解决实际问题的时候，却不这样说？ 笔者认为：建模 是为了能更快速和更准确的找到解题思路，这比单纯刷题有效。学生使用模型就一定要弄清楚模型背后的原理和使用模型的条件。中考高考去的是“思维定势化的套路”，而不是简单粗暴的把各种解题模型丢掉！ 甚至，章建跃博士的多次讲座中，“套路”也不是贬义词。 例如在《数学知识的理解和教学》的讲座中，他讲到：  即研究几何是有“基本套路的”！ 不会这个套路，怎么能教好几何？ 当然，研究其它数学知识，肯定也有相应的“套路”…… 包括广州教研室伍老师的书中，也有专门的一个章节，  专门探讨数学模型的教与学！ 数学模型，是根据特定的研究目的，采用形式化的数学符号、语言或图形，表示出研究对象的主要特征和关系的- -种数学结构。数学模型既包所几何图形，也包含代数关系，还可以是-些固化的解题思路、步骤。模型解题的优势是通过建立模型，把陌生的问题转化为熟悉的问题，进而找到有效解决向问题的方法。模型解题教学是引领学生深人学习的方法之一，在数学教学中占有较大的比重。 《义务教育数学课程标准(2011 年版)》中指出，模型思想的建立是学生理解和体会数学与外部世界联系的基本途径。模型思想是数学建模核心素养在初中数学课程内容中的具体体现。近年来，在各地中考和模拟考试试题中,涌现出了大量由各类几何模型演变和延伸而来的题目，这些题目虽然各不相同，但在解题的策略和方法上却是相通的，往往可以利用几何模型来求解。例如，常见的几何模型，如“母子模型”“一线三等角模型”“90° 含半角模型”“隐圆模型”等，在解决问题时能够起到关键性的作用。 二、“去套路”，“去模型”，实际上指的是什么？“去套路”，“去模型”的教学，笔者认为如下： 第一，实要求我们不要有众多所谓模型套路专题进行教学设计，而是按照“如何解决这个问题”去设计，如：“倍长中线”这个知识重点——解题思路，则教、学案设计的小专题可以为'与中点相关的…'，而非'倍长中线专题训练'（实际上此标题已经告知孩子思路）。又如隐形圆专题，教学案的标题不能出现这个，否则学生一看就知道了，导致“隐圆不隐”！ 第二，在问题解决教学中，最后可以提炼出模型，但是更加更高层面上要提炼出解决问题的通性通法、思想方法，避免让学生浪费许多精力去记忆大量模型，在解题中识别模型和套用模型，因为许多原创的问题，实际上按照已有模型还不一定能解决（其实笔者发现，尽管出题者想回避模型或套路，但是非常难，因为研究的人多了，模型或套路就出来了，就像鲁迅说的一样，世界上本没有路……），或者原创问题背景新鲜，学生不一定能识别出相应的模型，或者根本不要去套这模型，直接去解决它更好！ 第三，解题教学中，最关键的是，永远都不要从模型出发，而是从题目条件和结论出发，按照波利亚的四步解题法或套路（还是套路啊），第一步，理解题意，第二步，形成解题思路…… 同时注重重点知识的专项强化和变式拓展延伸等…… 三、附录：神奇的“波利亚的四步解题法” 助你达到任何目标波利亚是大数学家，在成名之前，他曾是中学数学老师，学生当中有冯·诺依曼。波利亚在数论上有诸多成就，但随着时间流逝，最为人们记住的就是他写的一本书：《怎样解题：数学思维的新方法》。 这本书看似是一本数学方面的书，其实对于我们解决任何问题都有借鉴意义。 一、波利亚的四步解题法 第一步，彻底理解问题。 问题既不能太难也不能太简单。你不要迎难而上，主动去找太难的问题，也不要随遇而安，专找自己会做的问题。为了确保真正理解问题，你最好把问题用自己的话换成各种各种形式反复重新表达。 无论怎么重新表达，别忘了要提出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？ 第二步，形成解决思路。 这一步的关键是获得好思路。你过往解决问题的经验、已经掌握的知识，这些是思路的来源。你要问自己：有没有解决过与当前相关的问题？当时用的办法现在还能否适用？要不要做以及做哪些调整？ 如果思路始终不肯降临，你就试试改变这个问题的各个组件；已知、未知、条件，逐一替换，直到找到与之相似而你又解决过的问题。 第三步，执行 获得思路需要掌握知识、良好习惯、专注、还有运气，执行它就相对简单，主要是耐心。要反复提醒自己：每一步都要检查。 检查有两种，一种是直觉，直觉是问你自己，这一步是不是一眼看去就是对的？一种是证明，证明是问你自己，能不能严格证明这步是对的？两种检查方式都有用，不过是两回事。 第四步，总结 决不能解决完问题就了事，那就浪费了巩固知识和提升技巧的机会。你再检查一遍论证过程，尝试用另外的方法解题，寻找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法能否用来解决其他问题？ 总结是最好的启发时刻。 二、解决问题的问题清单 与四步解题法相对应的，有个完整的提问清单。即使你面对的不是数学题而是人生种种难题，四步解题法及问题清单也极有价值。它适用于无数其他情境，帮助每个人寻找各自问题的解决之道，不论它是什么问题。 1、在理解问题阶段的问题清单是： 求解什么未知数？已知什么？条件是什么？条件充不充分？但凡能画图，一定要画，把条件分解成各个部分，把问题用自己的话重新讲，反复讲。 2、在构思解题思路阶段的问题清单是： 以前有没有见过相似或相关问题？以前用过的方法这次能否适用？不相似的地方是否需要引入辅助假设？条件有没有用足？能不能构造比现在更简单一点点的问题，先解决简单的？如果微调已知数、条件，甚至改变求解的未知数，能否找到解题线索？ 3、在执行解题思路阶段的问题清单是： 每一步都检查过了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？ 4、在回顾总结阶段的问题清单是： 结果检查了吗？论证过程检查了吗？能否用另外的方法推出结果？能否将方法用于解决其他题目？ 波利亚认为，这些问题清单： [if !supportLists]1) [endif]必须要系统、自然、明显、符合常识，防止打断形成思路的进程； [if !supportLists]2) [endif]必须要反复问，把它内化成肌肉反应； [if !supportLists]3) [endif]必须要有一般性，不仅适用于眼下的问题，还能适用于所有情境； [if !supportLists]4) [endif]必须要从一般性问题逐渐引到具体问题，激活思路，再回到一般性问题上来，如此反复迭代。 这样才能为练习者指出思考的方向，同时又留下了足够的努力空间。 这样才能为练习者指出思考的方向，同时又留下了足够的努力空间。 波利亚的四步解题法及提问清单应用了启发式学习法。启发式学习起源于古希腊科学家阿基米德那句著名的eureka，意思是“找到了”，传承至今。它不保证完美结果，看重实用性，是发现、解决问题并从中学习的经典方法。 启发式学习，简单但不容易，本身不是秘诀，一看就懂，照方抓药绝对管用，却必须艰苦修炼才能有所成。 最后，中国的罗增儒教授，在解题教学和解题研究上，也有自己非常深入的研究，笔者一直深受影响，是真正“有用”的学问，非常值得我们学习、实践和推广。 |
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