【原】美赛审题方法简介

MatheMagician 2023-07-05 发布于广东

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大家好！我是magic2728，从第一次建模到现在有近10年时间了，期间沉淀了一套以建模思维解决问题的方法论，曾以《数学建模七日谈》为题发表在数学中国论坛上，经受时间考验，受惠者众。现将其精华部分针对比赛进行重述。希望对大家有所裨益。

审题三部曲：

1. 弄清未知概念：看不懂的词和句子一定要查资料解决；

2. 获取题目信息：搞清楚每一个词，每一句话的数学模型意义；

3. 寻找求解思路：对照模型和背景的类型，搜寻解题思路；

其中第二步是整个审题的关键，将决定后面的步骤能否顺利进行。美赛尤其如此，很多文字可以有多种理解，每种理解都是不同的解题思路，而国赛相对固定些。

下面介绍获取题目信息的三类信息标注法，共三个大类，6个小类的信息，每类信息都对应不同的用法，进而去确定不同的模型使用和解题思路。

三类信息标注法

1. Topic：background & problem，背景介绍和问题，带你走入情景，这里的问题一般是一些困难或者麻烦待解决，不是具体的模型问题；

2. Condition：Restrictive condition & implication，限制性条件和暗示，前者一旦发现不可更改，后者需要灵活理解和获取一些解题的方向和思路；

3. Question：specific model & mission，一定要明确题目有几个基本的模型需要建立，要逐个建立并回答，如果需要用模型完成一些任务，写一个海报，手册之类的也要明确作为问题回答，必须十分明确！

最后一步寻求解题思路就可以在2的基础上进行了，一般有两个思考方向（其思考基础是函数建模法和三步学习法，我们下一篇文章介绍）：

1. 从topic中获取模型的背景，从condition和question中获取模型的类型，从而定位到模型的可能求解思路；

2. 从函数的自变量，因变量，参数，对应关系出发，找到题目需要求解的函数以及对应的优化问题，参数范围问题等；

今天我们先介绍这么多，这里以2018年CUMCM的A题为例，给大家示范一下三类信息标注法，以及审题的结果，有任何问题可以留言，或参与活动进群答疑！

A题 高温作业专用服装设计（bk1）

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。（pr1）专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。（bk2）

为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。（bk3）为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：

(1) 专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。（spm1）

(2) 当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。（spm1’）

(3) 当环境温度为80时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。(spm1’’)

附件1. 专用服装材料的参数值

附件2. 假人皮肤外侧的测量温度

本题符合国赛的一贯风格，A题是一个物理类的连续问题，且以经典热力学为模型背景，建模过程已经由热力学完成，只需在特定环境下使用而已。而且三个问题使用的是同一个模型，1要求建立基本的函数关系，2为单变量优化，3为多变量优化，模型不变，数学求解难度层层推进。

前两段解决topic的问题，带入情景为热力学情景，有现成热力学公式可以根据数据表中的单位顺藤摸瓜找到，另外应该可以把人体和衣服的接触曲面假设成一个无穷大平面来简化问题。

别看有3个问题，其实就是一个函数模型而已：

自变量：时间t，位置x；

因变量：温度值T；

参数：各层材料厚度L，比热a，热导率v，密度p，其中仅L为可变参数；

函数关系：T = f(t, x; L, a, v, p)由初始条件下的温度以及给定材料条件下的热传导规律决定。

故问题1即求f，直接用热传导公式逐层计算即可。

问题2仅L2为可变参数，有两种可行的理解：L2此时变成了唯一决策变量，其限制条件为“工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟”；而优化目标则是其他的比如皮肤外侧温度最低，超过44ºC的时间最少，厚度最薄等人工设定的目标；另一种理解则是直接当成解方程问题做，求参数L2的取值范围，范围内都是最优的，并不把它转化为优化问题。