【高三】2023届高三一轮第八章直线与圆、圆锥曲线8.5椭圆及其性质【新高考高中数学】

壬寅 ·十月三十一日

高三一轮复习

内容

   第八章8.5椭圆及其性质

适用

高三

备注

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考试要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．

知识梳理

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F₁，F₂叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F₁F₂|叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的简单几何性质

焦点的位置	焦点在x轴上	焦点在y轴上
图形
标准方程	＋＝1 (a>b>0)	＋＝1 (a>b>0)
范围	－a≤x≤a且－b≤y≤b	－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点	A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b)	A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0)
轴长	短轴长为2b，长轴长为2a
焦点	F1(－c，0)，F2(c，0)	F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距	|F1F2|＝2c
对称性	对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率	e＝(0<e<1)
a，b，c的关系	a2＝b2＋c2

常用结论

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x₀，y₀)与两焦点构成的△PF₁F₂叫做焦点三角形．如图所示，设∠F₁PF₂＝θ.

(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．

(2) ＝|PF₁||PF₂|sin θ＝b²tan ＝c|y₀|.

(3)|PF₁|_max＝a＋c，|PF₁|_min＝a－c.

(4)|PF₁|·|PF₂|≤²＝a².

(5)4c²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁||PF₂|cos θ.

题型一　椭圆的定义及其应用

思维升华　椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

题型二　椭圆的标准方程

命题点1　定义法

命题点2　待定系数法

思维升华　根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx²＋ny²＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．

题型三　椭圆的几何性质

命题点1　离心率

思维升华　求椭圆离心率或其范围的方法

(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．

(3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

命题点2　与椭圆有关的范围(最值)

思维升华　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；

(2)利用函数，尤其是二次函数；

(3)利用不等式，尤其是基本不等式．

<全文完>