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压轴题解法的主线与支线 上海老一辈的数学教育家赵宪初先生曾经提出：“先要举三反一，才能举一反三”，北京名师孙维刚也主张：“一题多解，多解归一，多题归一。”赵老和孙老师所说的“一”，指的解题的一般规律。（摘自《“数学脑”探秘》陈永明著）。 草根觉得，研究数学问题，特别面对解法特别多的数学问题，不能仅停留在“一题多解”的层面，要进一步对于繁花似锦的解法进行梳理，找出解决一类问题的一般方法（主线），以及本题特有的方法（支线），方能更好地把握数学问题的本质，帮助学生感悟数学，提升素养。  例题  第1问 1 标注条件 标注条件是处理综合问题的第一步， 要标已知也要标注易知 (例如：BP,DM)， 要关注边，也要关注角 （例如：tan∠MDC=1/2, tan∠PBC=3/4）  2 分析 在初中，求一个角的三角比，最常用的方法是将其（或者等角转换后）放入一个可解三角形中，就本题而言，∠BQM在△BQM内，我们首先研究△BQM。 对于△BQM而言： 有一条边已知（BM=2k）， 一个角已知（tan∠PBC=3/4）。 因为要求∠BQM的余切值，又要“保护”已知角∠QBM，所以需要过点M做BQ的垂线，垂直为点H。  继而可知HM=(6/5)k,BH=(8/5)k，要求∠BQM的余切值关键在于求BQ的长（求QM也可以，但题目要求余切，求BQ长更适宜）。那如何求BQ的长呢？ 视角一、把BQ放入△BQM中，如下图  视角二、局部有一个梅氏截线形， 如下图（梅氏形：三角形被一条直线所截）  这是典型的添加平行线构造基本型以求得BQ:QP的问题，加平行线的方法很多（以下举出几例供参考），他们本质是相同的，可以归为一类解法。  求出BQ=4k， 则可知HM=(6/5)k,HQ=(12/5)k cot∠BQM=2。 其他思路：角度转化 ① ∠BQM=∠DQP=∠QDP， cot∠BQM=cot∠QDP=2  ② 取AD中点N，联结BN、NP， 可得（1）△ABN∽△NDP， 相似比为2，且可得∠BNP=90° （2）BN∥DM， cot∠BQM=cot∠NBP=2  这两种解法是利用本题特有的形势解决的优法，可算是本题的重要支线！ （方法①中QP=PD， 方法②中△ABN∽△NDP） 3 解法脉络图 也许还有其他解法，我将自己所知的解法绘制程解法脉络图，我认为本题解三角形是主线，角度转化是重要支线，而解三角形重在求BQ，而求BQ又产生了多种支线解法。  第2问 1 从等腰三角形一般套路入手 一般处理等腰三角形问题的方式：设所求，表示三角形“三边”或“两边一夹角”或“三角”，以等腰为条件分别列方程求解。 01 表示出三边，列方程 本题的特点是正方形，点M是中点，所以适宜建立坐标系，利用数形结合，表示出△ABQ三顶点坐标，继而表示出三边，列方程解决问题。 设正方形ABCD的边长为2.  02 表示出两边夹一角，列方程 等腰三角形两腰相等，腰底关系是腰余弦底对半（腰乘以底角余弦值等于底边的一半） 如果三角形两边夹一角能够表示出来，可以用以下“公式”列方程。 设正方形边长为1，DP=k， 则DP:DC=k 2 以每组等腰条件入手求解 以每组等腰条件为触发点，按条件求解，在此我将列举几种不同的辅助线添加策略，会发现他们同时指向了同一条线段！ 设正方形边长为2k 01 延长DP、AB交于点N 由于DN为定长，关键在于求出DQ！ 02 延长BP、AD交于点N 由于DM为定长，关键在于求出DQ！ 03 解△DPQ直接求DP 已知tan∠MDC=0.5，还需要一角一边，而这一边还是DQ！ 除此之外还需要一个角，后续会逐一谈角 三种解题策略都指向了DQ！ 所以本题亦可理解为等腰不同触发条件下，求DQ的长！ 1 Part.1 AQ=BQ 过点Q做QH⊥AH于点H，HQ垂直平分AB，则点Q是DM中点，DQ=(√5/2)k，问题可解！ 注1：这个直角梯形，直角腰中点和直角顶点构成等腰（或其逆命题）很重要！需要熟知。 注2：HQ=(3/2)k,HB=k, tan∠BPC=tan∠ABQ=(3/2)，解△DPQ可行！ 2 Part2 AQ=AB 由AQ=AB=AD， 可发现△ADQ是以正切值为2的角为底角的等腰三角形（tan∠ADQ=2），可知正切值为2的角为底角的等腰三角形腰底比为√5:2， 因为AD=2k，所以DQ=(4/5)√5k 注：可以通过设元导角得到∠DQP=45° （设∠BAQ=α，∠QAD=90°-α……） 得到∠DQP=45°， 求出DQ，则△DPQ可解 其实其本质可以用圆周角来解释 （如下图） 3 Part.3 AB=BQ 有如下两种方法可以证明∠AQD=90° 于是△AQD是1:2:√5的直角三角形， 所以DQ=(2/5)√5k 当然本题可以逆用本题的第1问：） 注：可知△DPQ为等腰三角形，所以△DPQ可解 还有一种方法，利用勾股列方程 如下图 3 解法脉络图 上述为解决某一种情形的勾股定理的支线解法就不收录在脉络途中。 通过对于多解问题的整理，对于教师本人而言，思路就更清晰了，授课时更能从问题本质触发，如果能以身示范，引导学生也做一些整理与反思，那么对于学生的收获会更大。 |
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