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11月4日在永乐镇中心小学执教分数除法2.0版后，经李老师指点，将内容删减一半，即只研究分数除法与乘法的一致性，不研究计数单位统领下的一致性。11月11日上午，次赴第二小学参加教研活动并执教，本次活动有云镇、柴坪、月河、高峰四个乡镇的数学老师。  现留存一下教学设计、教学说明、个人感受及专家点评。 “分数除法”教学设计：  “分数除法”教学说明： 2022年版数学课程标准第三学段的内容要求中明确提出：“能进行简单的小数、分数的四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。” “一致性”成为新课标的高频词，用Word版本的课标搜索，“一致性”在十余万字的2022版课标出现频率达到18次，而在2011版课标没有出现一次。 关于小学阶段的除法运算，人教版教材编排在二、三、四年级主要学习整数除法，包括表内除法、除数是一位数的除法以及除数是两位数的除法，五年级学习小数除法，六年级学习分数除法。 人教版教材对于一个数除以分数的算理是通过比较两人的速度画图推理，解释为什么除以一个分数等于乘分数的倒数。以2/3小时走2千米，求每小时走多少千米为例。2÷2/3，先画2/3小时，再画对对应路程2千米，先求1/3小时的路程，再求1小时的路程：2÷2/3=2×1/3×2=2×（1/3×2）=2×3/2，这个解释本身没有问题，但与整数除法及分数除以整数的算理不能很好的统一起来，如果换了别的情境或者单纯的用运算进行解释，是否能很好的明晰，这个很难说。 关于分数除法，就算法而言，很简单，几分钟就可以搞定，但算理相对较难。而分数除法的一致性应当包含两个角度：一是用计数单位统领算理，理解整数、小数、分数除法运算的一致性；二是除法运算与乘法运算的一致性。今天主要解决除法运算与乘法运算的一致性，即通过引导进行代数推理，厘清乘除法运算的一致性，同时渗透转化的数学思想，提升学生的推理意识和运算能力。 为此，结合课标学习及个人理解，我想应该首先解决除数是整数的除法，依然以课本分数除以整数例题为蓝本，并关联到整数除以整数，解决为什么除以一个整数等于乘整数的倒数，这个很好理解，以平均分为情境，通过直观演示和直观图瞬间明了，再进一步通过代数推理说明，即除法是乘法的逆运算、等式的性质、等量的等量相等三步进行推理，该推理过程借鉴了2022版课标的第107页，附录部分的第16个例子，原例子是4÷2进行解析，我个人认为有点别扭，于是基于教材例题改为4÷3。 在引导的基础上，学生已经积累了一点推理的经验，对于分数除以整数4/5÷3为什么可以用4/5×1/3进行独立推理并交流，进一步丰富代数推理的经验，对于分数除以分数自然可以如法炮制。 与此同时，在解决一个数除以分数的算理时，又进一步迁移一个数除以小数的学习经验，即转化的数学思想，化未知为已知，将分数除以分数转化为分数除以整数或整数除以整数，进行运算推理，说明一个数除以分数等于乘分数的倒数的道理。 最后通过五年级上册第三单元练习九第41页的第10题，四组乘除对比运算结果相同，进行道理解释，进一步实现除法与乘法运算的一致性。 我想实现乘除法运算的一致性可能比用计数单位解释整数、小数、分数除法运算的一致性更重要，毕竟学生到了中学后基本上都不会再使用除号了，可以说见到除法都转化为乘法了。 个人感受及专家指导： 虽说是新课标背景下的主题教研活动，但公开课执教课本上没有安排的内容是有一定风险的。本节课的设计已经是第三个版本，删减了不少内容，课前想着容量已经比较小了，难度也不算很大，但实际难度也不小。 本节课学生已经学过，学生早就会计算分数出发，那么设计和想法主要是为了体现乘除法的一致性，通过代数推理以及转化思想进行运算推理解释为什么除以一个数等于乘这个数的倒数。 而实际上在解决课始的的4÷3以及4/5÷3时，我发现有学生列竖式，将4÷3点结果表示为小数，我及时进行了提醒，李老师课堂上拍下了其中一个学生的作业，他在已经算出了了得数的情况下还写竖式，是怎么想的呢？我想也许他已经算出的得数应该是在交流交流之后写出来的，我想大多学生对于4÷3是不会转化为乘法进行计算的，而是直接利用分数与除法之间的关系写出4/3。我还看到有两位同学一开始计算4/5÷3时，就把被除数和除数同时写成了倒数进行相乘，那么对于他俩来说这节课极有可能就是忍受。  李老师拍下的两份作业也可以看出，虽然有示范、有引导，但学生所完成的要么是完全模仿还有小瑕疵。 下面这份作业看起来似乎没有问题，但他没有做4/5÷3这道题，而且4÷3的推理过程照着示范过程写的时候多写了一等号，而且最后一步等量的等量相等没有写，我想可能与我当时在黑板上写的位置比较靠下，我引导的步伐也偏快偏急，他没有看见也没有搞明白是为了说明4÷3为什么等于4×1/3的道理，那么让独立完成4/5÷3时他也就出现了完全一样的问题，不过这个学生写的字是很漂亮，而且在推理过程中将符号进行了改变，将我示范的△变为了更常用的x。   利用直观图和操作解释除以整数等于整数的倒数的道理其实很容易理解，但利用逆运算、等式的性质、等量的等量相等进行代数推理相对较难，难于利用转化进行运算推理解释算理，李老师点评时认为代数推理介入过早，而且步子偏大，建议进行顺序调整，由易到难。 这一点，我十分认可，那么如果重新调整成为一个新的版本，应该在利用几何直观明白了除以整数等于乘整数的倒数的道理后，立即迁移小数除法的学习经验，把除数是分数的除法转化为除数是整数的除法进行运算推理，正如李老师所言，确实学生课堂的表现也可以看出来，这个要简单一些，最后再引导进行代数推理，如此以来，无论是从知识逻辑还是从学生学习认知心理分析，都会更好一些。 模型意识 ——沟通数学与现实世界的桥梁 镇安县教研室 李丽 （2022年11月11日，第二小学） 一、模型意识相关内容与载体： 1.理解运算的意义 2.探索发现规律 3.理解数量关系 4.解决问题 二、培养模型意识教学建议 1.创设适宜的问题情境，经历数学建模的过程。（熟悉、吸引力、兴趣、新问题、挑战性、用简单知识探究建模、开放性、系列化情境）（烙饼问题） 2.充分利用几何直观，帮助学生进行数学建模。 3.丰富素材，应用模型，感受模型的普适性。（鸡兔同笼）（搭配问题） |
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