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【悦远教育按：本文原标题是《美国MU课程的借鉴与思考：位值制的一则教学案例》，作者是上海师范大学国际与比较教育研究院的沈隽怡老师和黄兴丰教授。文章中提到“科学概念”的发展，有可能是从抽象到具体，从一般到特殊的。这多少有点违反我们多数老师的常规认知。因此，我们需要审视作者为什么会有这样的猜想，以及基于该猜想如何在实践层面来落实。从具体案例看，教学自然还是需要从可感知的素材入手，但背后的概念学习逻辑却发生了重要的变化。本推文标题中“从抽象到具体”，正是为了凸显这一变化。】 从抽象到具体，以测量来理解位值制 ——美国MU课程的借鉴与思考 Measure Up（简称MU）是美国夏威夷大学从2001年起，在学习和借鉴俄罗斯教育家达维多夫（Davydov）和艾尔康宁（El'konin）课程的基础上，开发的小学数学课程项目。在传统小学数学课程中，首先通过数数产生自然数，然后逐渐扩张到整数、有理数和实数。但是，达维多夫认为，这种数系扩张的教学顺序会导致学生误认为每个数系都是独立的、相互割裂的。正如，MU项目的主要负责人文尼西亚诺（Venenciano）指出，学生在自然数与实数的学习之间存在着难以弥合的鸿沟。达维多夫认为在传统的数系扩张的学习过程中，学生经历的是从特殊到一般的过程，通过归纳概括获得抽象性质。这也就是维果茨基所说的学生形成自发概念（spontaneous concept）的过程。然而，维果茨基认为，与此相对的科学概念（scientific concept），应当是从抽象的概念入手，再应用于具体的情境中，这是从一般到特殊的演绎过程。达维多夫发现，自发概念的发展遵循的是从特殊到一般的方式，是传统课程通常采用的设计方式，而科学概念的发展却是与之相反的过程。达维多夫猜想，如果把科学概念作为教学的起点，也许更有利于学生对抽象概念的理解。因此，他提出小学数学的教学应当从以“数”为中心转变为以“结构”为中心。在小学阶段，所谓“结构”指的是在算术的环境中，用未知数或变量替代具体的数字后所保持不变的代数关系。【这个定义很有意思，“结构是……代数关系”——编者注】这些结构可以包括：（1）四则混合运算法则，在运算a-b×c÷d+e中，无论涉及哪些具体的数，先乘除后加减的运算关系总是保持不变的；（2）互逆运算，比如通过加减法互逆运算，可以得到a+b=c等价于c-b=a；（3）运算律，比如加法、乘法的交换律和结合律；（4）运算性质，比如商不变运算性质，零乘任何数等于零等；（5）函数关系，即两个变量之间的依赖关系，比如父亲的年龄比儿子大30岁，无论时间怎么变化，两者年龄之间的关系是保持不变的。再比如，在匀速运动的过程中，当速度保持不变，时间和路程的关系总是保持不变的。学生对结构的理解和认识，无疑对他们从算术到代数的过渡会产生积极的影响。在布斯（Booth）看来，学生在理解代数概念时发生的困难，反映了学生在算术学习中存在的问题。按照达维多夫的观点，借助具体直观的操作，可以帮助学生超越具体的数字，建立抽象的概念。一旦学生掌握了这些数学结构，他们就能把抽象的性质和概念应用于具体的情境。例如，如果学生理解了位值制的数学结构，自然就能将其应用于十进制数、二进制数中，这是一个从一般到特殊的科学概念的形成过程。【这一价值，就是MU课程要做后文案例的原因。——编者注】尽管达维多夫质疑从日常生活经验建立数学知识的有效性，但他还是认为教学要从学生所处的环境出发，将学生的日常活动作为学习数学的平台。在达维多夫理念的指引下，MU课程在一年级就开始关注“谁比谁多”、“谁比谁少”、“谁和谁一样多”等数量关系的引入和渗透，帮助学生逐渐意识到物体的颜色、质地和形状无法表示物体的数量，而可测量的物体属性是长度、面积、体积和质量等物理量。然后，MU课程要求学生尝试用A＞B的数学语言来表示大小关系。这种测量方式不仅与学生的日常活动息息相关，而且为学生提供了一个探索数量关系的环境。MU课程将物体的长度、面积、体积和质量作为测量对象，这为连续量的比较、表示和推理创造了条件。通常，我们认为测量是利用标有通用单位的工具来确定物体的长度、容积等物理量，但是，MU课程对于测量的定义更为广泛，学生可以自己来决定“标准”进行测量，这也就引出了MU课程中的一个重要概念——单位。在MU课程中，数是通过测量单位引入的。例如，学生以线段a为单位来测量线段L，如果他们得到结果L=4a。那么这里数“4”就准确地描述了a与L的数量关系。也就是说，测量可以帮助学生认识到数本身也是一个数量关系，它代表着一个单位和一个被测量的量之间的关系。比如，在测量的过程中，如果我们把“2”作为单位，得到的测量结果是“5”，那么“5”就代表着2（单位）和10（被测量的量）之间的关系。在这过程中，就涉及到单位选择的问题，通过重复该单位来确定被测量的量与所选单位之间的关系。文尼西亚诺在一所学校，对MU课程进行了教学试验，40名五、六年级的学生参与了试验后的调查，结果显示，学生的逻辑推理能力和代数的学习能力与参加MU项目的时间呈正相关。文尼西亚诺在另一个研究中还发现，这些学生积累的测量经验对他们后来学习代数中的变量和多元表征起到积极的支持作用 。比如，他们能用多种方式（实物、直观模型、抽象符号）表征数量关系，解决问题。下面我们将借鉴达维多夫的理念以及MU课程的设计，结合中国数学教育的实际情况，以测量为工具，设计课堂活动，帮助学生理解位值制结构。伍鸿熙认为“位值制的概念对于理解自然数是非常重要的。通过学习如何记数，学生开始了解这个概念的起源，并且发现这个概念很容易理解，但是教师通常采用的方法是命令学生记住。”在传统位值制的教学中，学生只学习十进制数。而十进制数又是我们日常生活熟悉的记数方式，可能由于熟视无睹的原因，学生很容易忽视十进制数的重要意义。事实上，位值制的发展历史长达千年。在公元前2000年前，居住在两河流域上的古巴比伦人创造了60进制的位值制记数法。在巴比伦记数制中，1和10的记号是基本符号，其他从1到59的数都是由几个或更多的基本符号组合而成，使用起来非常笨重。公元前三世纪，印度也开始出现了数的符号。印度人给1到9的每个数字都创造了单独的符号，但当时还没有零和进位记法。直到公元500年左右，以10为底的进位记法才在印度的局部区域开始使用。又过了100年，十进制数在印度开始通用。公元800年前，阿拉伯人采用了印度人发明的十进制数，并在12世纪时将其传入欧洲。大约在15世纪，十进制数的使用已较为普遍。除此之外，玛雅人曾使用过二十进制数，我国古代使用的是算筹记数法（即十进制数）。古人由于身处不同的文化，创造出了不同的记数法。无论是以10、20还是60为基数，无论是否是进位制，每种记数法的演变过程都非常困难。这是由于记录数值较小的数对于古人来说是轻而易举，但是记录较大的数并非易事。我们无人不晓的十进制数从创造出1-9的符号，到采用10进位制并发明数字“0”历经了800年。然而，十进制数一旦被发明和流传，就惠及了人们的生活、促进了科技的进步。位值制就是指用一组有顺序的数字表示一个数的大小。比如，我们可以用符号来表示一个N进制的整数(anan-1……a1a0)N，其中0≤ai<N，那么它的大小就是an×Nn+ an-1×Nn-1+……+ a1×N1+ an×Nn+ a0×N0，其中N就是数的进制，第n位上的数字an的大小就是an×Nn。例如：(243)5=2×52+4×51+3×50。当N=10时，就是常见的十进制数；当N=2时，就是计算机系统中使用的二进制数；当N=60时，就是六十进制数。位值制一直以来都是数学课程中的重要概念，是理解整数、分数、小数的基础。美国共同核心标准从幼儿园到5年级每个年级都设置了“十进制的数与运算”，要求学生学会数数、理解位值、能在位值理解的基础上运用性质进行运算、理解十进制记数法。我国数学课程标准（2011年版），也明确要求学生能理解各数位上的数字表示的意义，了解十进制记数法。在数学课程中，我们总是以十进制数为具体的载体帮助学生理解位值制的含义。尽管各国小学阶段都十分重视十进制数的教学，但是由于它的结构抽象，几乎在所有的国家，不同年级的学生对位值制的理解仍然存在较多的困难和误解。例如：在麦克唐纳德（MacDonald）等人的研究中，美国124名来自两个西部农村学区的高年级后进生参与了调查，结果显示，29.5%的四年级后进生没有理解10个十可以组成1个百，五年级则有18.2%的后进生没有理解；唐皮耶（Tempier）对104名法国三年级学生（8-9岁）的测试结果表明，涉及计数单位间关系的题目，学生的正确率同样普遍较低，仅有48%的学生能正确回答“1个百中有几个十”，而题目“60个十中有几个百”能成功解决的学生比例仅为31%；泰晤士（Thames）在研究中发现，美国低年级学生还会把“47”写成“407”，因为他们认为47是由40和7组成。事实上，中国学生也会出现类似的问题。他们计算36+37时会得到“613”的答案，原因是6加7是“13”，3加3是6。因此，在不同的文化中，帮助学生理解位值制仍然是我们面临的共同挑战。师：如果有这么长的一条线段（图 1），我们如何能准确地知道它有多长呢？师：也就是说，我们首先要把这么长的一段看作1个单位，可以记作E（图 2）。那我们怎么数呢？师：好，那每位小朋友都来试一试，数一数一共有多少段呢？师：很多小朋友都没有得到结果，对吗？大家都遇到了什么困难呢？生3: 我认为可以这样数，1，2，3，4，5，数到5的时候把这5个单位当作一组。继续数1，2，3，4，5，数到5的时候同样把这5个单位当作一组，就这样一直数。师：老师已经按照生3的方法画了出来，用EII来表示一组。现在大家可以知道这条线段有多长了吗？师：很好。现在我们在E的基础上生成了一个新的单位，可以测量出这条线段的长度了。生4: 可以和刚刚一样，再把几个EII组成一大组，形成一个更大的单位。生5:如果不是5个EII，比如说是3个EII，那就变成EIII中有3个EII，EII中有5个E，容易混淆。师：说得很好。刚刚我们把5个E组成了1个EII，现在如果我们同样把5个EII组成EIII，那么我们就知道每个大单位都包含5个小单位。我们来尝试一下，看看有几个EIII呢？
师：现在大家可以知道这条线段有多长了吗？谁来说一说。生6:这条线段由2个EIII，3个EII，3个E组成。师：很好，为了更清楚地表示，我们可以整理成这样一张表（表 1）。表中的“（5）”是什么意思呢？
生7:“5”的意思是5个E可以组成一个EII，5个EII又可以组成一个EIII。
师：我们可以把这样的记数方法叫做五进制记数法，这条线段的长度可以记作(233)5。小朋友们，可以尝试用刚刚的方法来测量一下线段二吗？（图 5）
生8：首先还是把一小段作为基本单位E，然后把5个E放在一起构成一个大单位EII。我发现有4个EII，2个E，所以这条线段的长度是(42)5。师：很好，那下面这条线段三的长度又是多长呢？（图 6）
生9:我先把一小段作为基本单位E，接着5个E可以组成1个EII，然后5个EII又可以组成1个EIII，最后我发现这条线段由6个EIII，1个EII和4个E组成。所以这条线段的长度是6145。生10:这里有6个EIII，我认为其中的5个EIII可以组成1个EⅣ，然后还剩下1个EIII。师：是呀！5个小单位就可以构成一个大单位，5个EIII可以构成1个EⅣ，所以这条线段的长度是？师：对的。老师把这三条线段的长度都写到表格里，大家有什么发现吗？
生11：我发现在五进制记数法下，第I、II、III、Ⅳ上的数字都是小于5的。
师：是呀！五进制记数法下，每个数位上的数字都比5小，这是因为每5个小单位就可以构成一个大单位。刚刚我们都是五个单位五个单位地数，还有没有其他数法呢？师：小朋友们的想法真棒！我们四人为一组，每组选择一种记数方法来测量线段一，像老师刚刚一样画一画，填一填。
生15:我还是把一小段作为基本单位E，然后我是十个十个数的。10个基本单位E就会组成1个EII，我发现一共有6个这样的EII，还剩下8个E。所以表格里第II位填6，第I位填8，括号里填10。这条线段的长度就是(68)10。 
师：说得真不错！这位小朋友是把10个E组成了一个EII，10个小单位组成了一个大单位，小朋友们能想到什么呢？生16:如果我们把这一小段看成是1毫米，那么10个1毫米就可以组成1厘米，10个1厘米就可以组成1分米，10个1分米就可以组成1米。生17: 如果我们把这一小段看成是1分，那么10个1分就是1角，10个1角就是1元。师：小朋友们的想法真不错！我们可以发现，“满十进一”在我们日常生活中的运用非常广泛，它的第I位、第II位都有特殊的名称。由于最初我们是把1个E作为单位，因此，表格里（表 3）的第I位就称为个位；然后是把10个E组成的EII作为单位，那么第II位就称为十位。
师：小朋友们的方法真不少！刚才我们把每五个相同的单位可以组成一个更大的单位的记数方法叫做五进制记数法，那小朋友们的方法可以叫做？师：很好！我们可以把这些记数方法统称为位值制记数法。我们一开始用五进制记数法得到的结果是(233)5，这个数字中有两个“3”，它们的含义相同吗？生18:不同，因为右边的“3”的意思是3个E，中间的“3”的意思是3个EII，而1个EII包含5个E。师：真棒！即使是相同的数字，如果它们所在的位置不同，那么它们的含义是不同的，这就是位值制记数法。 在这个案例中，我们以如何准确测量线段长度的问题引入教学。在规定了测量的基本单位E之后，如果学生以E为单位一格一格地数，很容易面临“数不清”的问题。在此情境下，学生很自然地产生需要构造“大”的单位进行测量的想法。在学生以5个E（EII）作为一个新的单位进行测量的时候，学生发现还可以按照同样的方法构造一个更大的单位（EIII），来表示线段的长度。教师进而设计一个新的任务让学生体会用E、EII、EIII测量线段的长度。为了让学生体会位值制中数字的特征（小于N），教师再设计一条更长的线段，这时学生发现EIII单位下的数超过了5，这时引导学生再构造新的单位EⅣ用小于5的数来表示线段的长度。通过这些测量线段的任务，教师引导学生概括五进制记数法，即在“满五进一”的法则下，可以使用0～4这五个数字表示任意线段的长度。接下来，教师组织学生展开小组活动，任意选取一种位值制来表示线段的长度，体验和理解位值制的结构。在此案例中，通过线段长度的测量，不断组合线段，构造新的测量单位，为学生理解抽象的位值制结构提供了具体直观的工具。事实上，几何图形的分解和组合，体现的是最基础的空间结构。这种空间结构为学生理解抽象的数学结构提供了直观的载体，而几何测量也就成为沟通数与形的最好桥梁。正如美国州际共同核心标准明确指出：“测量是数学的核心，也是其他学科领域，尤其是科学的核心，同时也是日常生活的活动经验。几何测量连接着数学中几何和数这两个最重要的领域，为每个领域彼此提供概念支持。”正是由于测量具有如此重要的价值，因此我们不难理解MU课程为何要把测量作为帮助学生理解抽象结构的工具。MU 课程的设计逻辑是从一般到特殊，先建立结构，再迁移应用，与我国当前从特殊到一般的数学课程设计完全相反。达维多夫认为，在课程中应当首先帮助学生建立科学概念，这也许可以更能帮助学生理解抽象的数学结构。2008年，卡明斯基（Kaminski）等报告了一项研究，结果引起了数学教育界的广泛争论。该研究比较了从抽象到具体、还是具体到抽象的教学法对学生类比迁移能力的影响。他们发现，尽管在课堂上使用具体的例子，学生看起来学习得很容易，但是当他们在新的情境中解决类似的问题时却表现得十分糟糕。但是相比之下，先用符号建立抽象概念的教学方法，却可以帮助学生在新的复杂情境中解决类似的问题。他们的研究发现和达维多夫的理念十分相似，这似乎也为MU 课程设计的合理性提供了一些间接的证据。
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