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对同样的题设，再向物体作直线，它们与轨道相切，由公共的焦点向这些切线落下垂线，我说物体的速度按照来自垂线的反比和主通径的二分之一次正比的复合比。
由焦点S往切线PR上落下垂线SY，且物体P的速度按照量（SYq）/L的二分之三次反比。因为那个速度如同在给定的一小段时间它所画出的极小的一段弧PQ，也就是（由引理VII）如同切线PR，亦即，因PR比QT 和SP比SY成比例，如同（SP×QT）/（SY），或者与SY成反比且与SP×QT成正比；又SP×QT如同在给定时间所画出的面积，亦即（由命题XIV）按照通径的二分之一次比。此即所证。 系理1 主通径按照来自垂线的二次比和速度的二次比的复合比。 系理2 物体的速度，在离公共的焦点的最大的和最小的距离上，按照来自距离的反比和主通径的二分之一次正比的复合比。因为垂线现在即是距离。 系理3 因此，［物体］在圆锥截线上的速度，在离焦点的最大的或者最小的距离上比［物体］在离中心同样距离的圆周上的速度，按照主通径比二倍的那个距离的二分之一次比。 系理4 物体在椭圆轨道上运行，在离公共的焦点平均距离处的速度与物体在同样距离的圆形轨道上运行的速度是相同的，这就是（由命题IV引理6）按照距离的二分之一次反比。因现在垂线即是短半轴，且这些［短半轴］如同距离与通径之间的比例中项。这个反比与通径的二分之一次正比的复合，成为距离的二分之一次反比。 系理5 在相同的图形，或甚至不相同而主通径相等的图形中，物体的速度与从焦点落到切线上的垂线成反比。 系理6 在抛物线上，速度按照物体离图形的焦点的距离的二分之一次反比；在椭圆上速度按较此比大的比，在双曲线上按较此比小的比变化。因为（由引理XIV系理2）自焦点到抛物线的切线落下的垂线按照距离的二分之一次比。在双曲线上垂线按较此比小的比，在椭圆上按较此比大的比变化。 系理7 在抛物线上，一个物体在离开焦点任意距离处的速度比离中心同样距离的一个物体在圆周上运行的速度按照数值二比一的二分之一次比；在椭圆上按照小于这个比的比，在双曲线上按照大于这个比的比。因为由本命题的系理2，在一条抛物线的顶点的速度按照这个比，又由本命题的系理6和命题IV，相同的比在所有的距离被保持。因此，在一条抛物线上任意一个地方的速度等于一个物体以一半的距离在圆周上运行的速度；在椭圆上较小，在双曲线上较大。 系理8 ［一个物体］在任意圆锥截线轨道上运行的速度比［一个物体］在距离为该圆锥截线的主通径之半的圆形轨道上运行的速度，如同那个距离比从焦点到圆锥截线的切线上落下的垂线。由系理5这是显然的。 系理9 因此，由于（由命题IV 系理6）［一个物体］在这个圆形轨道上运行的速度比［一个物体］在其他任意的圆形轨道上的速度，按照距离的二分之一次反比；从错比（17）（ex æquo）导出，［一个物体］在圆锥截线轨道上运行的速度比［一个物体］以同样的距离在圆形轨道上运行的速度，如同那个公共距离和圆锥截线的主通径之半的比例中项比从公共的焦点到圆锥截线的切线上落下的垂线。（英.牛顿） |
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