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注：本文第一、第二作者郑妍、张红健，为北京教育学院教授附属海淀实验小学教师。文章选自《小学数学教师》杂志2022年第11期，推文标题有改动。】 在有梯度的表现性任务中发展推理意识 “平行四边形面积”是北师大版教材五年级上册的内容。学生通过本单元的学习不仅要掌握多边形面积测量的方法，还要在探究多边形面积公式的过程中体验并感悟“转化”的数学思想，培养科学探究精神，在问题解决中发展推理意识。通过对学生课前调研分析发现，60%左右的学生能正确求出平行四边形的面积，72%的学生有将平行四边形转化为长方形的意识，但仅有8.7%左右的学生能清晰解释推导过程，学生的思维水平有较大差异。设计“好”的表现性任务是达成素养目标的关键。 本课旨在通过设计有层次有梯度的表现性任务，激发不同水平学生深度思考，引导学生在解决“真问题”中发展推理意识。 一、设计前置任务，了解学生水平，明确学习目标 学生在学习本课之前，已经掌握了平行四边形的特征及长正方形面积计算方法，认知了底和高，这为本节课学习奠定了知识基础。在“比较图形面积”这一单元初始课上，学生已经尝试用不同的方法比较图形面积大小，特别是积累了用割补法比较图形面积的经验，为本节课的探究学习埋下了思维的种子。为了解学生在解决平行四边形面积问题中的现有水平，以便有针对性地设计教学活动，课前对本年级四个班126名同学进行了调研，题目如下： 你能想办法求出平行四边形的面积吗？把你的思考过程表示出来。通过对学生作品的分析，划分了5个表现水平（表1） 表1 学生解决平行四边形面积问题的表现水平 通过以上分析发现，大部分（75.4%）学生集中在水平2和水平3，尤其是处于水平3的学生达到了一半。除最高的水平4外，学生有代表性的作品主要有三类：第一类：能够正确运用公式求解，但说不清楚推导过程（64人，50.8%）虽然超过一半的学生都能正确解决平行四边形面积的问题，但是能够说清楚过程和理由的学生并不多，尤其是转化为长方形的目的以及转化前后的对应关系，学生并不清楚。第二类：用邻边相乘求平行四边形面积（16人，12.7%）从学生作品能够看出，有一部分学生（16人）认为平行四边形的面积是两条邻边长度相乘，这是学生根据长方形面积公式类比推理而来，是学生朴素的真实想法，即便有学生（7人）已经将平行四边形转化为长方形，依然用邻边相乘，没有考虑到转化前后面积是否发生变化。通过访谈发现，在知道平行四边形面积公式的学生中，也有相当一部分觉得邻边相乘也有道理，但说不清楚为什么不正确。周长和面积的概念一直是学生容易混淆的，前测中依然有9人将周长与面积混淆，用求周长代替求面积，说明到五年级，周长与面积混淆的现象依然存在。根据学生调研情况，本课要解决的重点问题有两个，第一，引导学生探究公式的推导过程，找到转化前后各要素的对应关系；第二，帮助学生澄清错误认识（包括邻边相乘的计算方法和周长与面积概念的区分），在解决这两个问题的过程中为没有解决思路的学生提供方向上的支持，使不同水平的学生都能有所提升，实现数学学习的“增值”。由此，我们确定本节课学习目标为：1.能在操作中探究平行四边形面积的计算方法及公式推导过程，正确计算平行四边形的面积；2.能通过验证、说理等方式对自己及他人的问题解决过程给出合理解释与说明，发展推理意识；3.积累操作和问题解决的经验，感受到提出质疑和探究问题的乐趣，培养科学精神。二、基于学习目标设计真实问题情境，培养高阶思维能力教材提供了铺草坪的现实背景，引导学生经历“遇到问题——提出合理猜想——借助学具验证——利用转化找到对应关系，得出结论——解决生活中的问题”这样的探究过程。直接使用教材的情境和学习路径是否能够引发学生的真实表现？带着这一问题我们进行了课例研究。通过分析教材，我们发现“草坪面积”一般比较大，也极少刚好是平行四边形，学生较难通过经验抽象出“平行四边形”，因而我们将这一情境替换为教材习题中“停车位”情境，这一情境学生更为熟悉，也更容易进行图形的抽象。图1 长方形停车位 师：这是生活中常见的停车位，有时候为了进出方便还会把停车位设计成这样的形状（图2），这是什么形状？图2 平行四边形停车位
师：问题来了，如果停车场要设计停车位，就需要知道每个停车位大约占地多少？像这样一个停车位，占地多少呢？师：对，就是求平行四边形的面积，我们可以把生活问题转化为数学问题来解决。之前已经学过长方形、正方形面积，平行四边形的面积该怎么求呢？【设计意图】通过设计贴近学生生活的真实情境，引导学生将真实情境中的问题进行抽象，转化为“求平行四边形面积”的数学问题。布鲁姆将学生的认知过程划分为“记忆、理解、应用、分析、评价、创造”六个类别，这六个类别有水平之分，一般来说我们将“分析、评价、创造”视为高阶思维。在学生已经完成前置任务且大部分学生都知道如何求平行四边形面积的基础上，应在课堂上设计指向高阶思维的表现性任务，我们选取“底×高”和“邻边相乘”两类学生典型求解方法，布置学习任务：“你认同哪种方法？请选择学具进行验证并说明自己同意或不同意的理由”，与前置任务相比，学习任务升阶为对别人的结论和方法进行分析和评价，培养学生“说理”能力，同时设计评价量规如下：水平2：能选择自己认同的方法，用数方格或计算的方法进行验证。水平3：知道用底×高计算，能利用学具进行转化，但说不清楚转化前后图形要素间的对应关系。水平4：知道用底×高计算，能利用学具直观地说明邻边相乘为什么不正确。水平5：知道用底×高计算，能通过转化找到要素之间的对应关系，对平行四边形面积公式的推导过程进行解释说明。 师：在昨天完成学前任务时，同学们对于如何求平行四边形的面积有两种不同的想法（图3，图4），你们同意哪种？面对这两种方法要怎么办？图3 底x高 图4 邻边相乘 师：对，试一试，就是验证一下哪种方法是可行的？同学们可以选择合适的学具（图5）写一写、画一画、剪一剪来进行验证，小组之间可以进行讨论。汇报时要说明自己验证的过程和认同或不认同的理由。图5 提供的学具
生1：我们认同第一种方法，底×高，我们是用带格子的平行四边形来验证的，这个平行四边形的底是7厘米，高是4厘米，底×高=28厘米，然后我们沿着这里剪下来，拼过去，变成一个长方形，发现这个长方形的面积长×宽也是28厘米，这两个图形的面积应该是没变的，所以底×高=28厘米应该是对的。师：他们组用计算的方法验证平行四边形的面积是底×高，同学们有没有不同意见？生2：我觉得边长乘边长也可以。我是用这个长方形框架验证的，开始时是长方形，面积是长乘宽，拉伸一下变成平行四边形了，但这两条边还是这两条边，所以我觉得方法2也可以。师：刚才两位同学表达了不同的观点，有没有同学有疑问？生2（补充）：我刚才看了第1组，觉得他们的验证也是对的，因为看到转化成长方形后面积没有变，但为什么不能用边长×边长？生3：我验证过了，边长×边长结果不对，但我不知道为什么长方形面积是长×宽，是两条边长相乘，平行四边形面积却是底×高呢？师：这位同学问了一个非常好的问题，大家刚才通过数格子或者计算都能够知道底×高是正确的，边长乘边长的答案跟底乘高得到的结果不一样，那肯定是错了，边长乘边长为什么不行？谁能再来说明一下。生4：我还用这个框架来说明一下，原来是长方形，面积有这么大，我把它压下去，变成平行四边形，越往下压，面积越小，但边长没有变，所以边长乘边长肯定不行，边长不变，面积是变化的。师：这位同学用直观的方式让大家看到边长乘边长得到的结果是错误的。边长没有变，为什么面积却变了呢？这里面还有什么变了吗？生5：我发现从长方形变成平行四边形，边长没变，但高变了。师：大家的发现特别好，尽管边长没变，但还是有一些要素发生了变化，使得图形的一些特征发生了变化，面积也相应地发生了变化。【设计意图】通过对自己认同的方法进行验证，确认平行四边形面积公式是底×高，同时从直观的角度发现邻边相乘不能得到面积，培养学生推理意识和科学精神。3.建立转化前后图形要素之间的关系，引领学生向高水平发展根据评价量规，在上一个环节，大部分小组处于水平2或水平3，即能够通过数格子或计算来说明哪种方法是正确的，教师通过引发学生的冲突、质疑和争论引导学生达到水平4，即还能说明邻边相乘为什么不可行，但大部分同学依然停留在“知道底×高的事实”层面，还不能建立转化前后图形要素之间的关系，教师再次进行了追问：师：现在大家都认同了第一种方法是正确的，刚才还有同学问了这样一个问题：长方形的面积公式是长×宽，平行四边形的面积公式怎么变成底×高了呢？它们之间有什么关系？生7：我发现转化后平行四边形的底等于长方形的长，那高就应该等于长方形的宽，这样它们的面积才相等。师：这位同学有了一个猜想，转化后，长方形的宽等于平行四边形的高，是不是这样呢？大家想一想，刚才在把平行四边形通过剪拼转化成长方形时，是怎么剪的？可以随便剪吗？生8：不是随便剪的，得沿着一条高剪，这样才有直角，才能变成长方形。师：大家回忆一下，是不是这样？必须怎么剪，才能转化成长方形？师：对，我们发现，原来平行四边形的底和高跟转化后的长方形的长和宽是有联系的，底等于长，高等于宽（板书），长方形面积公式是长×宽，所以跟它面积相等的平行四边形面积公式是？师：我看到刚才大多数同学都是从一个角出发，沿着高剪的，是不是只能这样剪呢？大家可以用手里的学具再试试，还可以怎么剪？生10（操作剪拼并汇报）：我发现不用从一个角出发，沿着任何一条高剪，都能拼成长方形。师：沿着任意一条高剪开，都能得到直角，都能把平行四边形转化成长方形。我们通过把底和高与转化后长方形的长和宽建立联系，知道了平行四边形面积公式是怎么得到的，真是太棒了！【设计意图】通过引导学生建立转化后长方形与之前平行四边形各要素之间的关系，探索平行四边形公式的推导过程，让学生从低水平向高水平迈进。在三年级刚开始学习面积概念时，学生就容易将面积与周长概念混淆，在这节课之前的调研发现仍然有9名学生混淆面积与周长，用求周长代替了求面积。克劳斯梅尔把数学概念学习分为具体期、确认期、分类期、生产期、形式期五个阶段。数学概念的“确认期”是一个漫长的过程，在新情境中学生很容易将多个相关的概念混淆，需要在学习中不断确认和巩固。因此在解决了面积公式的推导问题后，我们也展示出学生求周长的作品，让学生在评价和质疑中对面积和周长概念再次进行辨别判断，提升概念理解水平。师：咱们在完成课前任务时，老师还发现有部分同学是这样做的（图6），答案跟刚才底×高和边长×边长都不一样，大家读懂他们的作品了吗？发现了什么？图6 求周长的学生作品 师：还真的是，平行四边形跟长方形有共同的特征，就是？师：所以可以用一组对边长度的和乘2，这求的是线的长度，而我们今天要求的是面的大小，是面积。所以大家在解决测量问题的时候一定要注意，我们要测量的对象是什么？是线的长度还是面的大小。【设计意图】通过让学生对错误作品进行分析评价判断，进一步巩固对测量对象的认识，加强对周长和面积概念的辨析和理解。在平行四边形面积这一内容中，最让教师头疼的问题是很多学生都已经知道公式，我们在教学中应正视学生现有水平，设计让学生经历“真探究”过程、让每个学生都有思维投入的高阶表现性任务，才能让素养目标在课堂中真正得以落实。
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