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如果一个数学命题的证明符合严格性的高标准（有这样一个高标准正是数学这门学科的特征），这个命题就算是得以确立。然而，不严格的论证在数学里也有重要的作用。举例来说，如果希望把一个数学命题用于另一个领域，比方说是工程或物理学，则命题是否为真实的就比命题是否已经证明了更加重要。 然而，这就导致了一个明显的问题，如果还没有证明一个命题，那么，相信这个命题为真有什么基础呢？事实上有好几种不严格的说明正当性的方法，我们来看其中的几个。 有条件的结果黎曼假设是数学里最著名的未解决问题。为什么认为它那么重要？比方说，为什么它比孪生素数猜想更重要？而后一个猜想同样是关于素数序列的性态的。 主要的但不是唯一的理由在于黎曼假设及其推广有为数巨大的推论。用宽泛的语言来说，黎曼假设告诉我们∶说素数序列中出现了一定程度的“随机性”并不会产生误导∶素数在许多方面性态很像适当选择的随机的整数集合。
如果素数以随机的方式“行事”，这将使得素数更难以分析了。但是，随机性是有好处的。举例说，正是因为有随机性，我们才深信，每一天都至少有一个女孩出生。如果婴儿的性别不那么随机，我就不会那么肯定了，说不定婴儿的出生有某种奇特的模式，例如女孩出生在星期一到星期四，男孩出生在星期五到星期日。类似地，如果知道素数的形态像一个随机序列，则对于素数在长时期的平均 黎曼假设及其推广用精确的方式陈述了这样一个思想，即素数，还有在数论理出现的其他重要序列，都会“随机地行事”。这才是有那么多推论的原因所在。有大量的论文，其中都有一些定理，是在假设黎曼假设的某种形式已经得证的条件下才成立的。所以，如果证明了黎曼假设，就改变了所有这些定理的状态∶从在某种条件下成立变为得到了完全的证明。 如果一个定理依赖于黎曼假设，我们怎样去看待这个定理？可以简单地说，现在证明了黎曼假设蕴含这个定理，然后对这个定理就置之不理了。但是，绝大多数数学家会采取另一种态度。他们相信黎曼假设，相信终有一日黎曼假设会得到证明。所以他们也会相信其所有推论才更靠得住。 还可以在理论计算机科学中举一个大家都很相信并且用它来作为进一步研究的基础的例子。计算机科学的主要目标之一就是要确定计算机能够多快就完成一项工作。这个目标分成了两部分∶
第二个工作是难得出了名的，最好的已知结果远远弱于大家信以为真的结果。有一类计算问题，称为NP完全问题，这一类问题具有同等的难度。就是说如果其中有一个问题有有效率的算法，则此算法可以转化为对所有其他这一类问题的有效率算法。然而，在很大程度上正是由于这个原因，几乎普遍都相信这一类问题中没有一个具有有效率的算法，或者，通常就把这个信念说成是∶"P不等于NP"。所以，如果想证明某一个问题不存在快速算法，只需要证明这个问题和某个已知为NP 完全的问题至少一样难。这还不算是一个严格证明，但是对其正当性是一个很有说服力的说明，因为绝大多数数学家都相信P不等于NP。 有一些研究领域依赖于好几个假设而不只是依赖于一个假设。这个领域的研究者好比是发现了一处数学美景，他们急不可耐地想把地图画出来，尽管还有许多他们并不了解的事情。这时常是一个很好的研究策略，就是从将来找到严格证明的前景来看也是。一个猜想，并不是空洞大胆地随便去猜，它的内涵要丰富得多∶一个猜想，要想被接受为重要的猜想，要经历多种检验。例如，它有没有已经知道为真的推论，有没有一些人们能够证明的特例，如果它是真的，是否有助于解决其他问题，是否得到了数值证据的支持；如果它是不成立的，是否会给出容易反驳的大胆的精确命题？ 需要极大的洞察力和艰苦工作才能得出一个能够通过这些检验的猜想，但是如果成功了，得到的就不仅是一个孤立的命题，而是一个与其他命题有多种联系的命题。这就增加了它得到证明的机会，大大增加一个命题的证明导致其他命题也得到证明的机会。一个好的猜想，甚至其反例也能揭示许多东西，如果这个猜想与许多其他命题有关，它的效果将会渗透到整个领域之中。
一个充满猜想性命题的领域是代数数理论，特别是朗兰茨纲领（计划），它是由朗兰茨（Robert Langlands）提出的许多猜想的整体，把数论和表示理论连接了起来。此外，它还把许多猜想和结果都推广和统一了。例如，其中就有志村-谷山-威尔猜想，而这个猜想对于怀尔斯证明费马大定理起了中心作用，而这个猜想还只是朗兰茨纲领的一个小部分。朗兰茨纲领极好地通过了一个好猜想需要通过的检验，多年来指导了许多数学家的研究工作。 另一个具有类似本性的领域是一个称为镜面对称的领域。它是一种对偶性，把来自代数几何以及弦论的一个称为 Calabi-Yau 流形的对象和其他对偶的流形连接起来。正如某些微分方程，如果考虑相关函数的傅里叶变换就比较容易求解一样，在弦论里出现的一些计算，如果不是变换为对偶的，即“镜面”的情况，就无法进行计算。这种变换至今还没有被严格地说明其合理性，但是这个过程已经给出了一些极复杂的几乎没有人会猜想到的公式。Maxim Kontsevich提出了一个精确的猜想，可以解释镜面对称的明显的成功。
数值证据哥德巴赫猜想指出，每一个大于或等于4的偶数都是两个素数之和，如果有人要想用今天的数学工具证明它，即令他准备接受黎曼猜想，似乎也不敢有此奢望。然而人们又都以为这个命题肯定为真。 相信哥德巴赫猜想有两个主要理由．第一个理由已经遇见过∶如果素数真是“随机分布的”，则可以期望它为真。这是因为若n是一个大偶数，则有许多方法写出n=a＋b，而有足够多的素数使得人们敢于期望 a 和b有时会同时为素数。 这样的论证还留下一个漏洞，即有可能对于太大的 n，我们没有交上好运，使得当a为素数时，n-a必为合数。数值证据在这里就出来了。现在已经核验过，每一个直到10^14为止的偶数都能写为两个素数之和，所以当n更大时，极不可能偏偏倒霉，“恰好”碰上这么一个反例。 这或许是一个太粗糙的论据，但是有一个办法使它更为可信。如果能使素数为随机分布这个思想更加精确，就可以陈述哥德巴赫猜想的一个更强的版本，就是不但指出每个偶数都可以写成两个素数之和，而且还粗略地说有多少种写法。
例如，如果a和n-a都是素数，则其中没有一个可以是3的倍数（除非它自己就是3）。若n是3的倍数，则这只是说a不能是3的倍数，但是若n可以写成3m＋1，则a 不能也是3k＋1的形式，否则n-a就会是3的倍数了。这样，在某种意义下，若n是3的倍数，则把n写为两个素数之和要容易“两倍”。考虑到这些信息就可以估计出，“应该”有几种方式把n写成两个素数之和，结果是每一个偶数n都应该有多种方法写为两个素数之和。 此外，对于“有多少个”的预测与数值证据可以密切配合，就是说对于小的n可以在计算机上检验这些预测是否正确。这就使得数值证据更为可信，因为它不只是对于哥德巴赫猜想的证据，而且还是对于更加一般的原理的证据，因此引导我们更加相信它。 这是一个一般现象的例证∶由某一个猜想得到的预测更精确，则它后来被数值证据证实时，就会给人留下更深的印象。当然，不只对于数学是如此，对于更一般的科学也是如此。 “不合法”的计算关于一个 n 步的自避游动的起点与终点的平均距离，我们说“关于它几乎是一无所知”。对于这样一个说法，理论物理学家会强烈地不同意。相反地，他们会告诉您，一个典型的n步的自避游动的起点与终点的平均距离是在n^(3/4)左右。这种明显的不一致可以用以下的事实来解释，物理学家们有许多不严格的方法。尽管几乎都没有严格证明过，但是，如果小心使用，似乎能给出正确的结果。物理学家们用自己的方法，能够在一些领域里确立一些命题，而这些命题远非数学家所能够证明。
这些结果对数学家是很有吸引力的，部分地是因为如果把物理学家的结果看成数学的猜想，则按照前面所讲的标准，其中有许多都是极出色的猜想∶它们是深刻的，完全不可能在事前猜出来，被广泛认为是真实的，有数值证据支持等等。其吸引力的另一个理由在于，如果下力气去搞出严格的支撑，这种努力在纯粹数学领域里常会带来显著的进步。 为了对物理学家的不严格计算是什么样的东西得到一点印象，下面对Pierre-Gilles de Gennes 在物理学家的某些结果后面的著名论证作一个粗糙的描述。 在统计物理中有一个模型，称为n 向量模型，它与临界现象的概率模型中的伊辛（Ising）模型和Potts模型有密切的关系。在Z^d的每一点上都给定一个R^n单位向量。这就给出了一个单位向量的随机构形，我们对它赋予一个"能量"，这个能量随着相邻向量间的角度而增加。De Gennes 找到了一个方法把自避游动问题加以变换，使得可以把它看成n =0时的n向量模型。但是0向量模型是没有意义的，因为在R^0中并没有单位向量。然而 De Gennes 仍找到了与n向量模型相关的参数，并且证明，当n趋于零时，就会得到与自避游动相关的参数。他进而在n向量模型中选取其他参数来导出关于自避游动的信息，例如所希望的起点与终点的平均距离。 对于纯粹数学家，这种途径有下面的令人十分烦恼的事情。当n=0时，在n 向量模型中的公式是没有意义的，所以人们就把它们看作是当n→0时的极限。但在n 向量模型中的n非常清楚是一个正整数，那正整数怎么能够趋于0呢？是不是还有办法对于更一般的不一定是正整数的n也来定义n向量模型呢？说不定，但是谁也没有做到过。可是De Gennes的论据，还有其他类似的论据，引导到非常精确的预测，而且与数值证据十分符合。这里面必定有好理由，虽然谁也不知道是什么理由。 本文所举的例子只是很少几个例证，说明数学怎样因不严格的论证而得到丰富。这些论据使我们能够更深入到数学的未知领域，开辟了整个研究领域，研究那些本来会从眼皮子下面溜走的现象。话说到这个地步，人们会怀疑严格性是否重要∶既然由不严格的论据所确立的结果很清楚为真，这不就足够好了吗？确实有这样的事∶有例子表明，确实有不严格的方法“建立起来的”命题后来被证实是不对的，可是关注严格性的最重要的理由是∶由严格的证明所得到的理解，比起由不严格方法提供的理解，要更加深刻。描述这里的情况最好的方法，也许是说，这两种不同风格的论证，过去是彼此深刻的互相得益，无疑今后还会是这样。 |
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