高考物理：高中物理矢量三角形法的应用！

以共点力的平衡为例，物体在三个非平行力的作用下平衡时，这三个力必在同一平面内共点。根据共点力的平衡条件可知，其合力为零，三个力组成一个封闭三角形。因此，既可以用矢量三角形分析共点力的动态平衡问题，也可以分析物体在共点力的作用下平衡时的极值问题。实践证明，这种几何法往往比解析法要简单。

1、矢量三角形法：物体受三个共点力作用而平衡时，若第一个力的大小和方向确定（第一个定力），第二个力的方向也确定（第二个定向），求第二个力的大小及第三个力的大小与方向（第三个变力）如何变化，可以直接利用矢量三角形定性与定量讨论。

画图技巧：定力两个端点确定不动，定向力作用线是以定力一端为起（或终）点的一条直线，变力是变化的，但不是乱变，因为要构成（闭合）三角形，所以变力一端与定力另一端相连而不动，变力的变化是由于变力另一端在定向力的作用线上移动引起的。

例1、用一根细绳把重为G的小球挂在竖直光滑的墙壁上，如图所示，若改用较长的细绳，使α角变小时，细绳对小球的拉力及墙壁对小球的弹力如何变化？

解析：选小球为研究对象，小球在重力G、细绳拉力、墙壁弹力F_N三个力作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定。F_N的方向确定，但大小不定，的大小和方向都不定。通过情景分析可知，改用较长的细绳，相当于使α角变小，根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，α角较小时，细绳对小球的拉力和墙壁对小球的弹力均减小。

例2、如图所示，一轻杆O端用铰链固定于墙壁上，A端用轻绳拉紧使OA杆保持水平，若在A端挂重物G，当把重物的悬点A点向O点逐渐缓慢移动时，绳对A点的拉力和铰链对杆的作用如何变化？

解析：选杆A端为研究对象，杆在拉力、拉力和铰链作用力三个力作用下始终处于平衡状态。的大小和方向都确定，的方向确定，但大小不定，的大小和方向都不定。根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，当把重物的悬点从A点向O点逐渐缓慢移动时，一直减小，先减小后增大。

例3、如图所示小球被轻绳系着，斜吊在光滑劈面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动劈，在这个过程中，绳上拉力最小值是多大？

解析：小球受重力mg、斜面支持力，轻绳拉力三个力作用，在劈缓慢向右运动过程中，三个力的合力为零。作出力的矢量如图4-1，其中mg大小方向不变，方向不变只是大小变化，大小方向均变化，但是与的合力R与mg等值反向，由mg的大小和方向可作出R的大小和方向，过R的矢量末端作出与矢量的平行线，要使拉力最小则需与相垂直，表示大小的有向线段为最短，则拉力为最小，此时轻绳与斜面相平行，拉力最小值为所求。

2、相似三角形法：首先根据“闭合多边形”原理，即当物体受同一平面内三个或三个以上不平行的力作用处于平衡状态时，这几个力的矢量箭头首尾相接构成一个矢量的闭合多边形，构建一个力三角形，但矢量三角形三边不符合一个定力、一个定向、一个变力，故不能直接利用矢量三角形法来分析，然后如果寻找到与其相似的几何三角形，就可以通过矢量三角形与几何三角形相似的对应边成比例及几何三角形边长的变化分析力的变化。

例4、如图所示，绳子a一端固定在杆上C点，另一端通过定滑轮用力拉住，一重物用绳b挂在BC上，杆可绕B点转动，杆、绳质量及摩擦不计，重物处于静止。若将绳子a慢慢放下，则下列说法正确的是（   ）

A. 绳a的拉力减小，杆的拉力F增大

B. 绳a的拉力增大，杆的压力F增大

C. 绳a的拉力不变，杆的压力F减小

D. 绳a的拉力增大，杆的压力F不变

解析：使结点C在各个位置处于平衡的三个力中只有绳b的拉力（大小等于重力，方向竖直向下）是确定的，另两个力的大小不定、方向变化，但这两个力的方向有依据：绳a的拉力总沿绳a收缩的方向，杆BC支持力方向总是沿杆指向杆恢复形变的方向，那么表示这两个力的有向线段与几何线段相关，任意位置时表示三力关系的矢量三角形与表示位置关系的某几何三角形一一对应且相似。

如图所示，自结点C先作表示力的有向线段①，另两个变化力和的有向线段②、③分别平行于杆BC及绳a，且与有向线段①依次首尾相接构成闭合三角形，与该力三角形相似的是几何三角形ABC。C的位置改变时，由于力三角形与几何三角形总相似，可由几何边长的变化判定对应力大小的变化：随着绳子慢慢放下，几何边AC变长、BC边不变，则绳a的拉力增大，杆BC对结点C支持力不变，即杆所受压力F不变。故选项D正确。

3、摩擦角法：遇到物体受四个共点力作用平衡问题时，如果物体受滑动摩擦力（或最大静摩擦力），可以将正压力和滑动摩擦力（或最大静摩擦力）合成为一个力，将物体受四个共点力作用平衡问题转化为物体受三个共点力作用平衡问题来处理。

例5、如图所示，质量为m的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，物体在与水平面成θ角的斜向上的拉力F作用下沿水平面匀速运动，问θ为多大时F有最小值？F的最小值是多少？

解析：将地面对物体的支持力和地面对物体的摩擦力合成为一个力R，R与F_N夹角，这样物体在重力mg、地面对物体的作用力R及拉力F三个力作用下处于共点力的平衡状态，其中mg的大小和方向都确定，R的方向确定，但大小不定，F的大小和方向都不定。根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，当F垂直于R，即时，F有最小值，最小值为。

4、利用圆的切线法求解最小位移：在矢量闭合三角形中，第一个矢量大小、方向都确定（定矢），第二个矢量大小确定、方向未知（定大小），第三个矢量未知（变矢），此时定大小矢量与变矢相连端点的集合是以定大小矢量另一端为圆心、定大小矢量大小为半径的圆，且当变矢与该圆相切时，定大小矢量对角最大。

例6、小船在静水中运动速度为，水流速度为，且，设河宽为L，求小船渡河的最小位移。

解析：如图所示，以矢量的末端P为圆心，以矢量的大小为半径画圆，过矢量的始端O作该圆的切线OA，当合速度v的方向沿OA方向时渡河位移最小，此时船头指向（即的方向）与上游河岸的夹角为此时渡河最小位移为

5、圆内旋转三角形法：在闭合矢量三角形中，第一个矢量大小、方向都确定，第二个、第三个矢量均是变矢，但他们之间的夹角（定矢的对角）确定，此时根据同圆中同弦所对的圆周角在弦的同侧时，均等于圆心角的一半，即相等，可以利用圆内旋转三角形法来分析这类动态变化问题。

例7、F₁如图所示，置于水平地面上的竖直圆形金属环内用三根细绳OA、OB、OC悬挂一质量为物体，物体可看作质点。OB绳处于水平方向，∠AOB＝120°，设OA、OB绳的拉力大小为F₁、F₂，现将金属圆环在竖直面内缓慢逆时针转过90°，在此过程中（　　）

A．F₂一直增大

B．F₁一直增大

C．F₂先增大后减小

D．F₁先增大后减小

解析：对O点受力分析，有平衡条件可得，三个力组成圆内矢量闭合三角形，如图所示，将金属圆环在竖直平面内缓慢逆时针转过90°，绳OC的拉力大小和方向不变，F₂先增大后减小，F₁一直减小，ABD错误，C正确。

6、矢量直角三角形法：平抛运动：①任意时刻的两个分运动的速度与合运动的速度构成一个矢量直角三角形；②任意一段时间内两个分运动的位移与合运动的位移构成一个矢量直角三角形。

例8、从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反，大小分别为和，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90°?

解析：设两个小球抛出后经过时间t它们速度之间的夹角为90°，与竖直方向的夹角分

别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形，如图所示，根据图可得：

  ①

又因为 ②

由①②得，所以。

例9、如图甲所示，小球a、b分别以大小相等、方向相反的初速度从三角形斜面的顶点同时水平抛出，已知两斜面的倾角分别为和，求小球a、b落到斜面上所用的时间之比?(设三角形斜面足够长)

解析：根据推论4作出此时的位移矢量直角三角形如图乙所示：

对a有： ①

对b有： ②

由①②得。

7、解析法（正弦定理法、菱形定则法、拉密定理法）

例10、如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m₁和m₂的小球．当它们处于平衡状态时，碗内质量为m₁的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°．两小球的质量比为（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：根据力的菱形定则可知： ，化简则，所以答案选A。