不容错过的高中数学《函数的最值问题》常见的求解方法

在高中数学函数知识的学习中，最值问题是其中一个非常关键的知识点，是一种非常典型的能力考查题。最值问题与函数的联系密切，同时也涉及到较多方面的知识，遍及代数、几何及三角等等的内容，贯穿于高中数学的各个知识模块。

求解最值的问题，需要具有全面的分析问题及灵活的解决问题的能力，是高考数学中的热点和难点内容。为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的求解方法，就该问题的常用解法，分类浅析如下，仅供参考。

【方法与技巧】
换元法是指在解题过程中，我们可以通过引入一个或几个新的变量，来替换原来解析式中的的某些变量(或者是代数式），从而简化所求函数，使得所求的问题得以顺利解决的一种数学方法。

换元法可以说是目前实现函数最值问题求解的常用方式。常用的换元法有两类，分别是代数换元（如例3）和三角换元（如例4）。在实际的应用中，我们可以根据具体的情况及题目的已知条件去灵活选地择换元的方法和化简的技巧，达到将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题的目的，并在此基础上联系自变量的取值范围顺利求出原函数的最值。

此外，需要特别注意的是，在进行换元的时候，一定要记得保持变换的等价性。也就是说，换元前和换元后变量的取值是等价的。

【方法与技巧】
利用不等式法来求解函数的最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法。

求解时需要注意三个方面：
（1）要注意检验基本不等式成立的三个条件：“一正、二定、三相等”。

（2）利用不等式法求解最值的关键是确定定值，所以，在求解时要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数。对于条件最值问题，则应首先考虑常数的代换，通过将函数解析式乘以常数“1” 来构造基本不等式。

（3）在变形的过程中，还要注意灵活地利用符号的变化将原函数转化为正数的最值问题，从而使问题得以顺利解决。

【方法与技巧】
解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性。先根据已知条件的具体情况和题目特点，确定函数在给定区间上的单调性，然后依据函数的单调性来求函数的最值。这种求解函数最值的方法是高考数学的常考点和必考点，多在解答题当中的某一问中出现。

（1）若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min=f(m)，f(x)max=f(n)；

（2）若函数f(x)在[m,n]上单调递减，则f(x)min==f(n)，f(x)max =f(m)；

（3）若函数f（x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理。

【方法与技巧】
对一些含有根式的函数或者含有绝对值的函数，有时我们可以利用平方法，将其两边平方去掉根式或者是绝对值，巧妙地将原函数的最值问题转化成我们所熟悉的、易于解决的函数最值问题。