高考数学基本不等式的应用与常见错误评析学习方法基本不等式及应用是高中阶段一个重要的知识点；其方法灵活，应用广范。在学习过程中要求学生对公式的条件、形式、结论等要熟练掌握，才能灵活运用。 一、基本不等式： 1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b等号成立， 2.a,b∈R+，a+b≥2-，当且仅当a=b等号成立。 二、问题1：设ab﹤0,则:-+-的取值范围是( ) (A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞) 解题辨析： 常见错误解法：因为-与-的积为定值，其和有最小值， 即-+-≥2所以选择答案(D)。此解法是错的，是因为-﹤0 -﹤0并不满足不等式：a+b≥2-中字母的条件； 正确方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0 (--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正确答案是(A) 问题2：已知x是正实数，求函数y=x2+-的最小值？ 解题辨析： 常见错误解法：因x是正实数，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，当且仅当x2=-，即x=-时，等号成立；此解法错误的原因是x2与-的积 2-并不是定值。 正确结论：对于两个正数a与b， 当和为定值，当且仅当a=b时，其积有最大值； 当积为定值，当且仅当a=b时，其和有最小值。 正确方法是：因x是正实数，y=x2+-=x2+-+- ≥3·■=3, 当且仅当：x2=-等号成立，即x=1时，y=x2+-的最小值是3 问题3：已知x,y都是正实数，且x+4y=1，求：-+-的最小值？ 解题辨析： 常见错误解法：因为x,y都是正实数1=x+4y≥2- 即1≥4-＞0，-+-≥ 2-＞0，两式相乘得-+-≥8 所以-+-的最小值是8，此解法错误的原因是不等式x+4y≥2-取等号的条件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等号的条件是x=y，而这两个条件不可能同时成立，因此-+-≥8中的等号不成立。 正确方法是：x,y都是正实数，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+ 2-=9，当且仅当-=-等号成立， 即当且仅当x=-，y=-时，-+-取得最小值是9 问题4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的最大值？ 解题辨析： 常见错误解法： xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3 即：xm+yn的最大值为3 此解法错误的原因是当xm+yn取得最大值3时，x=m，y=n要同时成立，即有x2+y2=m2+n2，而这是不可能的。 正确解法：因为x2+y2=2,m2+n2=4，两式相乘 8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn 8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2- 即当且仅当xn=ym时，xm+yn取最大值为2- 总之，基本不等式解决问题并不是万能的。学习过程中，要深刻理解基本不等式的内在实质，搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键。特别对于第二个基本不等式，我们常说“一正、二定、三等号”，其意义就在于此。 训练题 一、填空题： 1.已知x,y都是正实数，且-+-=1,则x+y最小值是_______， 当且仅当x=_______,y=_______, 2.已知：abc均为实数，且a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最大值是________ 最小值是_________。 3.已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。 二、选择题： 1.已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则-+-的最大值是( ) (A)-(B)-(C)2-(D)3 2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,则实数c的范围是( ) (A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3] 三、解答题： 1.已知矩形的面积与其周长相等，求其面积的最小值？ 2.⑴比较大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67 ⑵根据上述结论作出推广，试写出一个有关于自然数n的不等式，并证明之。 答案： 一、 填空题： 1. x+y最小值是9， 当且仅当 x=6,y=3。 2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。 3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- , 二、 选择题： 1.(C), 2.(D) 三、 解答题： 1.16 2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67 ⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要证明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。 |
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