【原】看老黄如何零基础探究高数问题，一个微分方程公式的推导

承蒙网友看得起老黄，拿一道t8联考的高等数学难题和老黄探讨。尽管用老黄目前已经掌握的知识，那道题也能解决，但老黄却看到了一种老黄既没有学过，又没有见过，只闻“江湖传说”的解法。其中要解一个微分方程。微分方程是老黄还没有深入探究的，所以坦白说，老黄是不会的。

可是老黄就是这样的人，不会的东西，也偏要把它探究出来。这是老黄智商欠税却仍能掌握很多高智商的人所掌握不了的知识的秘诀。因此老黄就要在对微分方程完全没有基础的情况下，捉捉摸摸给大家推一个超复杂的微分方程公式，让大家瞧瞧低智商的家伙是怎么探究数学问题的。因为只有智商很低的人，才有可能做这样事情。(不是指数学探究，是指明明不会还要去探究)

网友问题的全貌，等老黄摸出两个公式之后，再和大家分享，这里要推导的是，导数与原函数的差是多项式的公式。老黄把它整理成一道高数解答题的形式如下：

已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，

(1)若f’(x)-f(x)=x, 求f(x).

(2)若f’(x)-f(x)=∑(i=0->n)ai*x^i，求f(x).

其中∑(i=0->n)ai*x^i=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…+anx^n. 可能这个形式能接受的小伙伴比较多吧。即，这是一个n次n+1项式。当然，其中有些项可以为0，但一般规定an不为0.

其实老黄解决网友分享的问题，只需解决(1)就够了。这是一个连老黄这种低智商的人都可以一眼就看穿的问题。甚至老黄不用看，晚上躺在被窝里就能想出答案来了。

解：(1)f(x)=Ce^x-x-1, C为常数.

似乎，在微分方程的领域中，f(x)=Ce^x叫做方程的特解，f(x)=Ce^x-x-1叫做方程的通解。老黄一直想好好学一学微分方程，但一直没有时间，生活所迫，学这个不挣钱，没有办法。如果老黄有说错的，请大侠们指正。毕竟老黄连做梦都没有见过这方面的内容，出一些错也是很正常的。老黄推广的主要是探究数学的方法。

然而，第(2)个问题可就没有那么容易解决了哦。为了推出它的公式，老黄先从一些特列的情况下手，即：

(2)当i=0时, f(x)=Ce^x-a0, 【这是(1)的普遍情况，即(1)中a0=0.】

当i=1时, f(x)=Ce^x-a1x-(a1+a0),【笨蛋老黄用的是反推法，就是检验结果正确的方法得到的这个结果，包括下面的结果都是用的反推法。反推法非常适合老黄这种低智商的学习者】

当i=2时, f(x)=Ce^x-a2x^2-(2a2+a1)x-(2a2+a1+a0),

当i=3时, f(x)=Ce^x-a3x^3-(3a3+a2)x^2-(6a3+2a2+a1)x-(6a3+2a2+a1+a0),【到这里就可以看到规律了。除了第一项一定是Ce^x之外，其余各项构成x的一个n次n+1项式。各项的系数前面都使用负号做符号性质，降幂排列，系数本身也都是整式的形式。从单项式一直到n+1项式。它们都是有规律的，原多项式系数a0,a1,a2…an，非常好辨认，关键是它们自己的系数的规律非常难捉摸，不过老黄还是非常耐心地找到了它们的规律如下：一般人老黄不让看，免得误了他父母的子弟】

…当i=n时, f(x)=Ce^x-∑(i=0->n)(∑(j=i->n)j!*aj/i!)x^i.

相信很多小伙伴看到这样的公式就直接晕掉了。没有关系，老黄已经晕死过很多次了。利用它来解题，贼烧脑的，你知不知道！

例：若y’-y=3x^3-x^2+2, 求y.

解：y=Ce^x-∑(i=0->3)(∑(j=i->3)j!*aj/i!)x^i.【直接拿这个做答案，那可就太轻松了。当然这也是可以的，但老黄需要检验结果是否正确，所以需要把它展开，那可就真够伤脑筋的了】

=Ce^x-3x^3-(9-1)x^2-(18-2)x-(18-2+2)=Ce^x-3x^3-8x^2-16x-18.【检验结果完全正确】

再来一道练习，这回只展示答案的图片形式。

练习：若y’-y=3x^4-x+4, 求y.

如果你探究数学也能像笨笨的老黄这样，以你聪明的脑子，将来必有一番成就。当然，老黄知道，聪明人是不会探究这些的。而探究这些的聪明人，都将成为了不起的人物。老黄成不了了不起的人物，那是因为老黄太笨。