1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃9法,并运用其解题 一、三大余数定理: 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1=2. 当余数的差不够减时时,补上除数再减。 例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2. 乘方:如果a与b除以m的余数相同,那么与除以m的余数也相同. 二、弃九法原理 在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的: 例如:检验算式 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。 利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。 例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的 但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。 模块一、余数性质的综合运用 【例 1】与的和除以7的余数是________. 【巩固】 除以7的余数是多少? 【巩固】 被除所得的余数是多少? 【例 2】、为非零自然数,且被整除。的最小值为 。 【例 3】除以10所得的余数为多少? 【例 4】已知n是正整数,规定, 令,则整数m除以2008的余数为多少? 【例 5】设n为正整数,,k被7除余数为2,k被11除余数为3,求n的最小值. 【例 6】试求不大于100,且使能被11整除的所有自然数n的和. 【例 7】对任意的自然数n,证明能被1897整除. 【例 8】若为自然数,证明. 【例 9】有一位奥运会志愿者,向看台上的一百名观众按顺序发放编号1,2,3,……100,同时还向每位观众赠送一个单色喇叭.他希望如果两位观众的编号之差是质数,那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的.为了实现他自己的愿望,他最少要准备 种颜色的喇叭. 模块二、弃九法 【例 10】 将1至2008这2008个自然数,按从小到大的次序依次写出,得一个多位数:1234567891011121320072008,试求这个多位数除以9的余数. 【巩固】 连续写出从开始的自然数,写到时停止,得到一个多位数:,请说明:这个多位数除以,得到的余数是几?为什么? 【例 11】 将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以9的余数是 ________. 【例 12】 有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和。 【例 13】 设的各位数字之和为,的各位数字之和为,的各位数字之和为,的各位数字之和为,那么 【例 14】 3个三位数乘积的算式 (其中), 在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的是多少? |
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